2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析

2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析1 2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析2 2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析3 2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析4 2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析5 2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析6 2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析7 2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析8 2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析9 2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析10
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2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析文字介绍:2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为(  )A.3B.2C.1D.02.(5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=(  )A.B.C.D.23.(5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是(  )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4.(5分)(x+y)(2xy﹣)5的展开式中的x3y3系数为(  )A.﹣80B.﹣40C.40D.805.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  )A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=16.(5分)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是(  )A.f(x)的一个周期为﹣2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在(,π)单调递减7.(5分)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为(  )A.5B.4C.3D.28.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(  )A.πB.C.D.9.(5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(  )A.﹣24B.﹣3C.3D.810.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay﹣+2ab=0相切,则C的离心率为( )A.B.C.D.11.(5分)已知函数f(x)=x22x﹣+a(ex1﹣+ex﹣+1)有唯一零点,则a=(  )A.﹣B.C.D.112.(5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(  )A.3B.2C.D.2 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)若x,y满足约束条件,则z=3x4y﹣的最小值为  .14.(5分)设等比数列{an}满足a1+a2=1﹣,a1a﹣3=3﹣,则a4=  .15.(5分)设函数f(x)=,则满足f(x)+f(x﹣)>1的x的取值范围是  .16.(5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最小值为60°;其中正确的是  .(填写所有正确结论的编号) 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60分。17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?19.(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角DAEC﹣﹣的余弦值.20.(12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,﹣2),求直线l与圆M的方程.21.(12分)已知函数f(x)=x1alnx﹣﹣.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣=0,M为l3与C的交点,求M的极径. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x+1|﹣|x2﹣|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2x﹣+m的解集非空,求m的取值范围. 2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)参考答案与试题解析 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为(  )A.3B.2C.1D.0【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】5J:集合.【分析】解不等式组求出元素的个数即可.【解答】解:由,解得:或,∴A∩B的元素的个数是2个,故选:B.【点评】本题考查了集合的运算,是一道基础题. 2.(5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=(  )A.B.C.D.2【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;5N:数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:∵(1+i)z=2i,∴(1i﹣)(1+i)z=2i(1i﹣),z=i+1.则|z|=.故选:C.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.(5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是(  )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【考点】2K:命题的真假判断与应用;B9:频率分布折线图、密度曲线.菁优网版权所有【专题】27:图表型;2A:探究型;5I:概率与统计.【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,逐一分析给定四个结论的正误,可得答案.【解答】解:由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据可得:月接待游客量逐月有增有减,故A错误;年接待游客量逐年增加,故B正确;各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故C正确;各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确;故选:A.【点评】本题考查的知识点是数据的分析,命题的真假判断与应用,难度不大,属于基础题. 4.(5分)(x+y)(2xy﹣)5的展开式中的x3y3系数为(  )A.﹣80B.﹣40C.40D.80【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【专题】34:方程思想;5P:二项式定理.【分析】(2xy﹣)5的展开式的通项公式:Tr+1=(2x)5r﹣(﹣y)r=25r﹣(﹣1)rx5r﹣yr.令5r=2﹣,r=3,解得r=3.令5r=3﹣,r=2,解得r=2.即可得出.【解答】解:(2xy﹣)5的展开式的通项公式:Tr+1=(2x)5r﹣(﹣y)r=25﹣r(﹣1)rx5r﹣yr.令5r=2﹣,r=3,解得r=3.令5r=3﹣,r=2,解得r=2.∴(x+y)(2xy﹣)5的展开式中的x3y3系数=22×(﹣1)3+23×=40.故选:C.【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 5.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  )A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=1【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出椭圆的焦点坐标,得到双曲线的焦点坐标,利用双曲线的渐近线方程,求出双曲线实半轴与虚半轴的长,即可得到双曲线方程.【解答】解:椭圆+=1的焦点坐标(±3,0),则双曲线的焦点坐标为(±3,0),可得c=3,双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,可得,即,可得=,解得a=2,b=,所求的双曲线方程为:﹣=1.故选:B.【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,考查计算能力. 6.(5分)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是(  )A.f(x)的一个周期为﹣2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在(,π)单调递减【考点】H7:余弦函数的图象.菁优网版权所有【专题】33:函数思想;4O:定义法;57:三角函数的图像与性质.【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可.【解答】解:A.函数的周期为2kπ,当k=1﹣时,周期T=2π﹣,故A正确,B.当x=时,cos(x+)=cos(+)=cos=cos3π=1﹣为最小值,此时y=f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确,C当x=时,f(+π)=cos(+π+)=cos=0,则f(x+π)的一个零点为x=,故C正确,D.当<x<π时,<x+<,此时函数f(x)不是单调函数,故D错误,故选:D.【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键. 7.(5分)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为(  )A.5B.4C.3D.2【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】11:计算题;39:运动思想;49:综合法;5K:算法和程序框图.【分析】通过模拟程序,可得到S的取值情况,进而可得结论.【解答】解:由题可知初始值t=1,M=100,S=0,要使输出S的值小于91,应满足“t≤N”,则进入循环体,从而S=100,M=10﹣,t=2,要使输出S的值小于91,应接着满足“t≤N”,则进入循环体,从而S=90,M=1,t=3,要使输出S的值小于91,应不满足“t≤N”,跳出循环体,此时N的最小值为2,故选:D.【点评】本题考查程序框图,判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题. 8.(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(  )A.πB.C.D.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LR:球内接多面体.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5Q:立体几何.【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==,由此能求出该圆柱的体积.【解答】解:∵圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,∴该圆柱底面圆周半径r==,∴该圆柱的体积:V=Sh==.故选:B.【点评】本题考查面圆柱的体积的求法,考查圆柱、球等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想,是中档题. 9.(5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(  )A.﹣24B.﹣3C.3D.8【考点】85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;54:等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程,求出公差,由此能求出{an}前6项的和.【解答】解:∵等差数列{an}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列,∴,∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1,d≠0,解得d=2﹣,∴{an}前6项的和为==24﹣.故选:A.【点评】本题考查等差数列前n项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用. 10.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay﹣+2ab=0相切,则C的离心率为( )A.B.C.D.【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有【专题】34:方程思想;5B:直线与圆;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bxay﹣+2ab=0相切,可得原点到直线的距离=a,化简即可得出.【解答】解:以线段A1A2为直径的圆与直线bxay﹣+2ab=0相切,∴原点到直线的距离=a,化为:a2=3b2.∴椭圆C的离心率e===.故选:A.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 11.(5分)已知函数f(x)=x22x﹣+a(ex1﹣+ex﹣+1)有唯一零点,则a=(  )A.﹣B.C.D.1【考点】52:函数零点的判定定理.菁优网版权所有【专题】11:计算题;33:函数思想;49:综合法;51:函数的性质及应用.【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣(x1﹣)2的图象与y=a(ex1﹣+)的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论.【解答】解:因为f(x)=x22x﹣+a(ex1﹣+ex﹣+1)=1﹣+(x1﹣)2+a(ex1﹣+)=0,所以函数f(x)有唯一零点等价于方程1﹣(x1﹣)2=a(ex1﹣+)有唯一解,等价于函数y=1﹣(x1﹣)2的图象与y=a(ex1﹣+)的图象只有一个交点.①当a=0时,f(x)=x22x﹣≥1﹣,此时有两个零点,矛盾;②当a<0时,由于y=1﹣(x1﹣)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,且y=a(ex1﹣+)在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,所以函数y=1﹣(x1﹣)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex1﹣+)的图象的最高点为B(1,2a),由于2a<0<1,此时函数y=1﹣(x1﹣)2的图象与y=a(ex1﹣+)的图象有两个交点,矛盾;③当a>0时,由于y=1﹣(x1﹣)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,且y=a(ex1﹣+)在(﹣∞,1)上递减、在(1,+∞)上递增,所以函数y=1﹣(x1﹣)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex1﹣+)的图象的最低点为B(1,2a),由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1,即a=,符合条件;综上所述,a=,故选:C.【点评】本题考查函数零点的判定定理,考查函数的单调性,考查运算求解能力考查数形结合能力,考查转化与化归思想,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于难题. 12.(5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(  )A.3B.2C.D.2【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;4R:转化法;57:三角函数的图像与性质5A:平面向量及应用;5B:直线与圆.【分析】如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,先求出圆的标准方程,再设点P的坐标为(cosθ+1,sinθ+2),根据=λ+μ,求出λ,μ,根据三角函数的性质即可求出最值.【解答】解:如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,设圆的半径为r,∵BC=2,CD=1,∴BD==∴BC•CD=BD•r,∴r=,∴圆的方程为(x1﹣)2+(y2﹣)2=,设点P的坐标为(cosθ+1,sinθ+2),∵=λ+μ,∴(cosθ+1,sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),∴cosθ+1=λ,sinθ+2=2μ,∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin(θ+φ)+2,其中tanφ=2,∵1﹣≤sin(θ+φ)≤1,∴1≤λ+μ≤3,故λ+μ的最大值为3,故选:A.【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质,关键是设点P的坐标,考查了学生的运算能力和转化能力,属于中档题. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)若x,y满足约束条件,则z=3x4y﹣的最小值为 ﹣1.【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;44:数形结合法;5T:不等式.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数z=3x4y﹣的最小值.【解答】解:由z=3x4y﹣,得y=x﹣,作出不等式对应的可行域(阴影部分)平移直线y=x﹣,由平移可知当直线y=x﹣,经过点B(1,1)时,直线y=x﹣的截距最大,此时z取得最小值,将B的坐标代入z=3x4y=34=1﹣﹣﹣,即目标函数z=3x4y﹣的最小值为﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法. 14.(5分)设等比数列{an}满足a1+a2=1﹣,a1a﹣3=3﹣,则a4= ﹣8 .【考点】88:等比数列的通项公式.菁优网版权所有【专题】34:方程思想;35:转化思想;54:等差数列与等比数列.【分析】设等比数列{an}的公比为q,由a1+a2=1﹣,a1a﹣3=3﹣,可得:a1(1+q)=1﹣,a1(1q﹣2)=3﹣,解出即可得出.【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵a1+a2=1﹣,a1a﹣3=3﹣,∴a1(1+q)=1﹣,a1(1q﹣2)=3﹣,解得a1=1,q=2﹣.则a4=(﹣2)3=8﹣.故答案为:﹣8.【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 15.(5分)设函数f(x)=,则满足f(x)+f(x﹣)>1的x的取值范围是 (,+∞) .【考点】3T:函数的值.菁优网版权所有【专题】32:分类讨论;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】根据分段函数的表达式,分别讨论x的取值范围,进行求解即可.【解答】解:若x≤0,则x﹣≤﹣,则f(x)+f(x﹣)>1等价为x+1+x﹣+1>1,即2x>﹣,则x>,此时<x≤0,当x>0时,f(x)=2x>1,x﹣>﹣,当x﹣>0即x>时,满足f(x)+f(x﹣)>1恒成立,当0≥x﹣>﹣,即≥x>0时,f(x﹣)=x﹣+1=x+,此时f(x)+f(x﹣)>1恒成立,综上x>,故答案为:(,+∞).【点评】本题主要考查不等式的求解,结合分段函数的不等式,利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键. 16.(5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最小值为60°;其中正确的是 ②③ .(填写所有正确结论的编号)【考点】MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;41:向量法;5F:空间位置关系与距离.【分析】由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,构建如图所示的边长为1的正方体,|AC|=1,|AB|=,斜边AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,以C坐标原点,以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出结果.【解答】解:由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图,不妨设图中所示正方体边长为1,故|AC|=1,|AB|=,\\斜边AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,以C坐标原点,以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的方向单位向量=(0,1,0),||=1,直线b的方向单位向量=(1,0,0),||=1,设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′(cosθ,sinθ,0),其中θ为BC′与CD的夹角,θ∈[0,2π),∴AB′在运动过程中的向量,=(cosθ,sinθ,﹣1),||=,设与所成夹角为α∈[0,],则cosα==|sinθ|∈[0,],∴α∈[,],∴③正确,④错误.设与所成夹角为β∈[0,],cosβ===|cosθ|,当与夹角为60°时,即α=,|sinθ|===,∵cos2θ+sin2θ=1,∴cosβ=|cosθ|=,∵β∈[0,],∴β=,此时与的夹角为60°,∴②正确,①错误.故答案为:②③.【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题. 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60分。17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.【考点】HT:三角形中的几何计算.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;4O:定义法;58:解三角形.【分析】(1)先根据同角的三角函数的关系求出A,再根据余弦定理即可求出,(2)先根据夹角求出cosC,求出CD的长,得到S△ABD=S△ABC.【解答】解:(1)∵sinA+cosA=0,∴tanA=,∵0<A<π,∴A=,由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA﹣,即28=4+c22﹣×2c×(﹣),即c2+2c24=0﹣,解得c=6﹣(舍去)或c=4,故c=4.(2)∵c2=b2+a22abcosC﹣,∴16=28+42﹣×2×2×cosC,∴cosC=,∴CD===∴CD=BC∵S△ABC=AB•AC•sin∠BAC=×4×2×=2,∴S△ABD=S△ABC=【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式,以及解三角形的问题,属于中档题 18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有【专题】11:计算题;32:分类讨论;49:综合法;5I:概率与统计.【分析】(1)由题意知X的可能取值为200,300,500,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.(2)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,只需考虑200≤n≤500,根据300≤n≤500和200≤n≤300分类讨论经,能得到当n=300时,EY最大值为520元.【解答】解:(1)由题意知X的可能取值为200,300,500,P(X=200)==0.2,P(X=300)=,P(X=500)==0.4,∴X的分布列为:X200300500P0.20.40.4(2)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,∴只需考虑200≤n≤500,当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n4n=2n﹣;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n300﹣)﹣4n=12002n﹣;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n200﹣)﹣4n=8002n﹣,∴EY=2n×0.4+(12002n﹣)×0.4+(8002n﹣)×0.2=6400.4n﹣,当200≤n≤300时,若最高气温不低于20,则Y=6n4n=2n﹣,若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n200﹣)﹣4n=8002n﹣,∴EY=2n×(0.4+0.4)+(8002n﹣)×0.2=160+1.2n.∴n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法,考查数学期望的最大值的求法,考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想,是中档题. 19.(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角DAEC﹣﹣的余弦值.【考点】LY:平面与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有【专题】31:数形结合;35:转化思想;5F:空间位置关系与距离;5G:空间角【分析】(1)如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD.△ABC是等边三角形,可得OB⊥AC.由已知可得:△ABD≌△CBD,AD=CD.△ACD是直角三角形,可得AC是斜边,∠ADC=90°.可得DO=AC.利用DO2+BO2=AB2=BD2.可得OB⊥OD.利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明.(2)设点D,B到平面ACE的距离分别为hD,hE.则=.根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,可得===1,即点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取AB=2.利用法向量的夹角公式即可得出.【解答】(1)证明:如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD.∵△ABC是等边三角形,∴OB⊥AC.△ABD与△CBD中,AB=BD=BC,∠ABD=∠CBD,∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD.∵△ACD是直角三角形,∴AC是斜边,∴∠ADC=90°.∴DO=AC.∴DO2+BO2=AB2=BD2.∴∠BOD=90°.∴OB⊥OD.又DO∩AC=O,∴OB⊥平面ACD.又OB⊂平面ABC,∴平面ACD⊥平面ABC.(2)解:设点D,B到平面ACE的距离分别为hD,hE.则=.∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,∴===1.∴点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取AB=2.则O(0,0,0),A(1,0,0),C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0,,0),E.=(﹣1,0,1),=,=(﹣2,0,0).设平面ADE的法向量为=(x,y,z),则,即,取=.同理可得:平面ACE的法向量为=(0,1,).∴cos===﹣.∴二面角DAEC﹣﹣的余弦值为.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.(12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,﹣2),求直线l与圆M的方程.【考点】KN:直线与抛物线的综合.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;41:向量法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一:分类讨论,当直线斜率不存在时,求得A和B的坐标,由•=0,则坐标原点O在圆M上;当直线l斜率存在,代入抛物线方程,利用韦达定理及向量数量积的可得•=0,则坐标原点O在圆M上;方法二:设直线l的方程x=my+2,代入抛物线方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,即可求得•=0,则坐标原点O在圆M上;(2)由题意可知:•=0,根据向量数量积的坐标运算,即可求得k的值,求得M点坐标,则半径r=丨MP丨,即可求得圆的方程.【解答】解:方法一:证明:(1)当直线l的斜率不存在时,则A(2,2),B(2,﹣2),则=(2,2),=(2,﹣2),则•=0,∴⊥,则坐标原点O在圆M上;当直线l的斜率存在,设直线l的方程y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2),,整理得:k2x2﹣(4k2+2)x+4k2=0,则x1x2=4,4x1x2=y12y22=(y1y2)2,由y1y2<0,则y1y2=4﹣,由•=x1x2+y1y2=0,则⊥,则坐标原点O在圆M上,综上可知:坐标原点O在圆M上;方法二:设直线l的方程x=my+2,,整理得:y22my4=0﹣﹣,A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=4﹣,则(y1y2)2=4x1x2,则x1x2=4,则•=x1x2+y1y2=0,则⊥,则坐标原点O在圆M上,∴坐标原点O在圆M上;(2)由(1)可知:x1x2=4,x1+x2=,y1+y2=,y1y2=4﹣,圆M过点P(4,﹣2),则=(4x﹣1,﹣2y﹣1),=(4x﹣2,﹣2﹣y2),由•=0,则(4x﹣1)(4x﹣2)+(﹣2y﹣1)(﹣2y﹣2)=0,整理得:k2+k2=0﹣,解得:k=2﹣,k=1,当k=2﹣时,直线l的方程为y=2x﹣+4,则x1+x2=,y1+y2=1﹣,则M(,﹣),半径为r=丨MP丨==,∴圆M的方程(x﹣)2+(y+)2=.当直线斜率k=1时,直线l的方程为y=x2﹣,同理求得M(3,1),则半径为r=丨MP丨=,∴圆M的方程为(x3﹣)2+(y1﹣)2=10,综上可知:直线l的方程为y=2x﹣+4,圆M的方程(x﹣)2+(y+)2=,或直线l的方程为y=x2﹣,圆M的方程为(x3﹣)2+(y1﹣)2=10.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理,向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中档题. 21.(12分)已知函数f(x)=x1alnx﹣﹣.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有【专题】11:计算题;32:分类讨论;49:综合法;53:导数的综合应用.【分析】(1)通过对函数f(x)=x1alnx﹣﹣(x>0)求导,分a≤0、a>0两种情况考虑导函数f′(x)与0的大小关系可得结论;(2)通过(1)可知lnx≤x1﹣,进而取特殊值可知ln(1+)<,k∈N*.一方面利用等比数列的求和公式放缩可知(1+)(1+)…(1+)<e,另一方面可知(1+)(1+)…(1+)>2,从而当n≥3时,(1+)(1+)…(1+)∈(2,e),比较可得结论.【解答】解:(1)因为函数f(x)=x1alnx﹣﹣,x>0,所以f′(x)=1﹣=,且f(1)=0.所以当a≤0时f′(x)>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,这与f(x)≥0矛盾;当a>0时令f′(x)=0,解得x=a,所以y=f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,即f(x)min=f(a),若a≠1,则f(a)<f(1)=0,从而与f(x)≥0矛盾;所以a=1;(2)由(1)可知当a=1时f(x)=x1lnx﹣﹣≥0,即lnx≤x1﹣,所以ln(x+1)≤x当且仅当x=0时取等号,所以ln(1+)<,k∈N*.ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<++…+=1﹣<1,即(1+)(1+)…(1+)<e;因为m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m成立,当n=3时,不等式左边大于2,所以m的最小值为3.【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题,考查分类讨论的思想,考查转化与化归思想,考查运算求解能力,考查等比数列的求和公式,考查放缩法,注意解题方法的积累,属于难题. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣=0,M为l3与C的交点,求M的极径.【考点】QH:参数方程化成普通方程.菁优网版权所有【专题】34:方程思想;4Q:参数法;4R:转化法;5S:坐标系和参数方程.【分析】解:(1)分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k(x2﹣)①与x=2﹣+ky②;联立①②,消去k可得C的普通方程为x2y﹣2=4;(2)将l3的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)﹣=0化为普通方程:x+y﹣=0,再与曲线C的方程联立,可得,即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=.【解答】解:(1)∵直线l1的参数方程为,(t为参数),∴消掉参数t得:直线l1的普通方程为:y=k(x2﹣)①;又直线l2的参数方程为,(m为参数),同理可得,直线l2的普通方程为:x=2﹣+ky②;联立①②,消去k得:x2y﹣2=4,即C的普通方程为x2y﹣2=4(x≠2且y≠0);(2)∵l3的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)﹣=0,∴其普通方程为:x+y﹣=0,联立得:,∴ρ2=x2+y2=+=5.∴l3与C的交点M的极径为ρ=.【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程,考查函数与方程思想与等价转化思想的运用,属于中档题. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x+1|﹣|x2﹣|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2x﹣+m的解集非空,求m的取值范围.【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有【专题】32:分类讨论;33:函数思想;4C:分类法;4R:转化法;51:函数的性质及应用;5T:不等式.【分析】(1)由于f(x)=|x+1|﹣|x2﹣|=,解不等式f(x)≥1可分﹣1≤x≤2与x>2两类讨论即可解得不等式f(x)≥1的解集;(2)依题意可得m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x,分x≤1、﹣1<x<2、x≥2三类讨论,可求得g(x)max=,从而可得m的取值范围.【解答】解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x2﹣|=,f(x)≥1,∴当﹣1≤x≤2时,2x1﹣≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.由(1)知,g(x)=,当x≤1﹣时,g(x)=x﹣2+x3﹣,其开口向下,对称轴方程为x=>﹣1,∴g(x)≤g(﹣1)=113=5﹣﹣﹣﹣;当﹣1<x<2时,g(x)=x﹣2+3x1﹣,其开口向下,对称轴方程为x=∈(﹣1,2),∴g(x)≤g()=﹣+1=﹣;当x≥2时,g(x)=x﹣2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=<2,∴g(x)≤g(2)=4﹣+2+3=1;综上,g(x)max=,∴m的取值范围为(﹣∞,].【点评】本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题. 

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