2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析

2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析1 2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析2 2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析3 2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析4 2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析5 2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析6 2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析7 2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析8 2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析9 2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析10
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2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析文字介绍:2018年全国统一高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅰ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知集合A={0,2},B={2﹣,﹣1,0,1,2},则A∩B=(  )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{2﹣,﹣1,0,1,2}2.(5分)设z=+2i,则|z|=(  )A.0B.C.1D.3.(5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是(  )A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.(5分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(  )A.B.C.D.5.(5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  )A.12πB.12πC.8πD.10π6.(5分)设函数f(x)=x3+(a1﹣)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(  )A.y=2x﹣B.y=x﹣C.y=2xD.y=x7.(5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A.﹣B.﹣C.+D.+8.(5分)已知函数f(x)=2cos2xsin﹣2x+2,则(  )A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为49.(5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  )A.2B.2C.3D.210.(5分)在长方体ABCDA﹣1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(  )A.8B.6C.8D.811.(5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|ab﹣|=(  )A.B.C.D.112.(5分)设函数f(x)=,则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(  )A.(﹣∞,﹣1]B.(0,+∞)C.(﹣1,0)D.(﹣∞,0)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=  .14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为  .15.(5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y3=0﹣交于A,B两点,则|AB|=  .16.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2a﹣2=8,则△ABC的面积为  . 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.18.(12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q﹣ABP的体积.19.(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)20.(12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(﹣2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.21.(12分)已知函数f(x)=aexlnx1﹣﹣.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥时,f(x)≥0. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. [选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知f(x)=|x+1|﹣|ax1﹣|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. 2018年全国统一高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知集合A={0,2},B={2﹣,﹣1,0,1,2},则A∩B=(  )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{2﹣,﹣1,0,1,2}【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题;49:综合法;5J:集合.【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可.【解答】解:集合A={0,2},B={2﹣,﹣1,0,1,2},则A∩B={0,2}.故选:A.【点评】本题考查集合的基本运算,交集的求法,是基本知识的考查. 2.(5分)设z=+2i,则|z|=(  )A.0B.C.1D.【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5N:数系的扩充和复数.【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后,然后求解复数的模.【解答】解:z=+2i=+2i=i﹣+2i=i,则|z|=1.故选:C.【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的模的求法,考查计算能力 3.(5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是(  )A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【考点】2K:命题的真假判断与应用;CS:概率的应用.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计;5L:简易逻辑.【分析】设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后,经济收入情况,利用数据推出结果.【解答】解:设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.A项,种植收入37%×2a60%a=14%a﹣>0,故建设后,种植收入增加,故A项错误.B项,建设后,其他收入为5%×2a=10%a,建设前,其他收入为4%a,故10%a÷4%a=2.5>2,故B项正确.C项,建设后,养殖收入为30%×2a=60%a,建设前,养殖收入为30%a,故60%a÷30%a=2,故C项正确.D项,建设后,养殖收入与第三产业收入总和为(30%+28%)×2a=58%×2a,经济收入为2a,故(58%×2a)÷2a=58%>50%,故D项正确.因为是选择不正确的一项,故选:A.【点评】本题主要考查事件与概率,概率的应用,命题的真假的判断,考查发现问题解决问题的能力. 4.(5分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(  )A.B.C.D.【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用椭圆的焦点坐标,求出a,然后求解椭圆的离心率即可.【解答】解:椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),可得a24=4﹣,解得a=2,∵c=2,∴e===.故选:C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力. 5.(5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  )A.12πB.12πC.8πD.10π【考点】LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形,求出圆柱的底面直径与高,然后求解圆柱的表面积.【解答】解:设圆柱的底面直径为2R,则高为2R,圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,可得:4R2=8,解得R=,则该圆柱的表面积为:=12π.故选:B.【点评】本题考查圆柱的表面积的求法,考查圆柱的结构特征,截面的性质,是基本知识的考查. 6.(5分)设函数f(x)=x3+(a1﹣)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(  )A.y=2x﹣B.y=x﹣C.y=2xD.y=x【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;53:导数的综合应用.【分析】利用函数的奇偶性求出a,求出函数的导数,求出切线的向量然后求解切线方程.【解答】解:函数f(x)=x3+(a1﹣)x2+ax,若f(x)为奇函数,可得a=1,所以函数f(x)=x3+x,可得f′(x)=3x2+1,曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:y=x.故选:D.【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法,考查计算能力. 7.(5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A.﹣B.﹣C.+D.+【考点】9H:平面向量的基本定理.菁优网版权所有【专题】34:方程思想;41:向量法;5A:平面向量及应用.【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示,计算可得所求向量.【解答】解:在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,=﹣=﹣=﹣×(+)=﹣,故选:A.【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示,考查运算能力,属于基础题 8.(5分)已知函数f(x)=2cos2xsin﹣2x+2,则(  )A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4【考点】H1:三角函数的周期性.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;56:三角函数的求值;57:三角函数的图像与性质.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成余弦型函数,进一步利用余弦函数的性质求出结果.【解答】解:函数f(x)=2cos2xsin﹣2x+2,=2cos2xsin﹣2x+2sin2x+2cos2x,=4cos2x+sin2x,=3cos2x+1,=,=,故函数的最小正周期为π,函数的最大值为,故选:B.【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,余弦型函数的性质的应用. 9.(5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  )A.2B.2C.3D.2【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.【分析】判断三视图对应的几何体的形状,利用侧面展开图,转化求解即可.【解答】解:由题意可知几何体是圆柱,底面周长16,高为:2,直观图以及侧面展开图如图:圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度:=2.故选:B.【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系,侧面展开图的应用,考查计算能力. 10.(5分)在长方体ABCDA﹣1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(  )A.8B.6C.8D.8【考点】MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.【分析】画出图形,利用已知条件求出长方体的高,然后求解长方体的体积即可【解答】解:长方体ABCDA﹣1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,即∠AC1B=30°,可得BC1==2.可得BB1==2.所以该长方体的体积为:2×=8.故选:C.【点评】本题考查长方体的体积的求法,直线与平面所成角的求法,考查计算能力. 11.(5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|ab﹣|=(  )A.B.C.D.1【考点】G9:任意角的三角函数的定义;GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;56:三角函数的求值.【分析】推导出cos2α=2cos2α1=﹣,从而|cosα|=,进而|tanα|=||=|ab﹣|=.由此能求出结果.【解答】解:∵角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,∴cos2α=2cos2α1=﹣,解得cos2α=,∴|cosα|=,∴|sinα|==,|tanα|=||=|ab﹣|===.故选:B.【点评】本题考查两数差的绝对值的求法,考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题. 12.(5分)设函数f(x)=,则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(  )A.(﹣∞,﹣1]B.(0,+∞)C.(﹣1,0)D.(﹣∞,0)【考点】5B:分段函数的应用.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;49:综合法;51:函数的性质及应用.【分析】画出函数的图象,利用函数的单调性列出不等式转化求解即可.【解答】解:函数f(x)=,的图象如图:满足f(x+1)<f(2x),可得:2x<0<x+1或2x<x+1≤0,解得x∈(﹣∞,0).故选:D.【点评】本题考查分段函数的应用,函数的单调性以及不等式的解法,考查计算能力. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a= ﹣7 .【考点】3T:函数的值;53:函数的零点与方程根的关系.菁优网版权所有【专题】11:计算题;33:函数思想;49:综合法;51:函数的性质及应用.【分析】直接利用函数的解析式,求解函数值即可.【解答】解:函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,可得:log2(9+a)=1,可得a=7﹣.故答案为:﹣7.【点评】本题考查函数的解析式的应用,函数的领导与方程根的关系,是基本知识的考查. 14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为 6 .【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有【专题】31:数形结合;4R:转化法;59:不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由z=3x+2y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象知当直线y=﹣x+z经过点A(2,0)时,直线的截距最大,此时z最大,最大值为z=3×2=6,故答案为:6【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键. 15.(5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y3=0﹣交于A,B两点,则|AB|= 2.【考点】J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5B:直线与圆.【分析】求出圆的圆心与半径,通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系,求解即可.【解答】解:圆x2+y2+2y3=0﹣的圆心(0,﹣1),半径为:2,圆心到直线的距离为:=,所以|AB|=2=2.故答案为:2.【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用,弦长的求法,考查计算能力. 16.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2a﹣2=8,则△ABC的面积为  .【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;56:三角函数的求值;58:解三角形.【分析】直接利用正弦定理求出A的值,进一步利用余弦定理求出bc的值,最后求出三角形的面积.【解答】解:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.bsinC+csinB=4asinBsinC,利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,由于0<B<π,0<C<π,所以sinBsinC≠0,所以sinA=,则A=由于b2+c2a﹣2=8,则:,①当A=时,,解得bc=,所以.②当A=时,,解得bc=﹣(不合题意),舍去.故:.故答案为:.【点评】本体考察的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用. 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.【考点】87:等比数列的性质;8E:数列的求和;8H:数列递推式.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;54:等差数列与等比数列.【分析】(1)直接利用已知条件求出数列的各项.(2)利用定义说明数列为等比数列.(3)利用(1)(2)的结论,直接求出数列的通项公式.【解答】解:(1)数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,则:(常数),由于,故:,数列{bn}是以b1为首项,2为公比的等比数列.整理得:,所以:b1=1,b2=2,b3=4.(2)数列{bn}是为等比数列,由于(常数);(3)由(1)得:,根据,所以:.【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用. 18.(12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q﹣ABP的体积.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LY:平面与平面垂直.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.【分析】(1)可得AB⊥AC,AB⊥DA.且AD∩AC=A,即可得AB⊥面ADC,平面ACD⊥平面ABC;(2)首先证明DC⊥面ABC,再根据BP=DQ=DA,可得三棱锥QABP﹣的高,求出三角形ABP的面积即可求得三棱锥QABP﹣的体积.【解答】解:(1)证明:∵在平行四边形ABCM中,∠ACM=90°,∴AB⊥AC,又AB⊥DA.且AD∩AC=A,∴AB⊥面ADC,∴AB⊂面ABC,∴平面ACD⊥平面ABC;(2)∵AB=AC=3,∠ACM=90°,∴AD=AM=3,∴BP=DQ=DA=2,由(1)得DC⊥AB,又DC⊥CA,∴DC⊥面ABC,∴三棱锥QABP﹣的体积V==××==1.【点评】本题考查面面垂直,考查三棱锥体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19.(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)【考点】B7:分布和频率分布表;B8:频率分布直方图.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.【分析】(1)根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图.(2)根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率.(3)由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48,使用节水龙头50天的日均用水量为0.35,能此能估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.【解答】解:(1)根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表,作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图,如下图:(2)根据频率分布直方图得:该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率为:p=(0.2+1.0+2.6+1)×0.1=0.48.(3)由题意得未使用水龙头50天的日均水量为:(1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65)=0.48,使用节水龙头50天的日均用水量为:(1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55)=0.35,∴估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省:365×(0.480.35﹣)=47.45m3.【点评】本题考查频率分由直方图的作法,考查概率的求法,考查平均数的求法及应用等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题. 20.(12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(﹣2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.【考点】KN:直线与抛物线的综合.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)当x=2时,代入求得M点坐标,即可求得直线BM的方程;(2)设直线l的方程,联立,利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得kBN+kBM=0,即可证明∠ABM=∠ABN.【解答】解:(1)当l与x轴垂直时,x=2,代入抛物线解得y=±2,所以M(2,2)或M(2,﹣2),直线BM的方程:y=x+1,或:y=﹣x1﹣.(2)证明:设直线l的方程为l:x=ty+2,M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线l与抛物线方程得,消x得y22ty4=0﹣﹣,即y1+y2=2t,y1y2=4﹣,则有kBN+kBM=+===0,所以直线BN与BM的倾斜角互补,∴∠ABM=∠ABN.【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公式,考查转化思想,属于中档题. 21.(12分)已知函数f(x)=aexlnx1﹣﹣.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值;6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有【专题】14:证明题;35:转化思想;49:综合法;53:导数的综合应用.【分析】(1)推导出x>0,f′(x)=aex﹣,由x=2是f(x)的极值点,解得a=,从而f(x)=exlnx1﹣﹣,进而f′(x)=,由此能求出f(x)的单调区间.(2)当a≥时,f(x)≥﹣lnx1﹣,设g(x)=lnx1﹣﹣,则﹣,由此利用导数性质能证明当a≥时,f(x)≥0.【解答】解:(1)∵函数f(x)=aexlnx1﹣﹣.∴x>0,f′(x)=aex﹣,∵x=2是f(x)的极值点,∴f′(2)=ae2﹣=0,解得a=,∴f(x)=exlnx1﹣﹣,∴f′(x)=,当0<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.(2)证明:当a≥时,f(x)≥﹣lnx1﹣,设g(x)=lnx1﹣﹣,则﹣,当0<x<1时,g′(x)<0,当x>1时,g′(x)>0,∴x=1是g(x)的最小值点,故当x>0时,g(x)≥g(1)=0,∴当a≥时,f(x)≥0.【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力,是中档题. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;5S:坐标系和参数方程.【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.(2)利用直线在坐标系中的位置,再利用点到直线的距离公式的应用求出结果.【解答】解:(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ3=0﹣.转换为直角坐标方程为:x2+y2+2x3=0﹣,转换为标准式为:(x+1)2+y2=4.(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2,则:该射线关于y轴对称,且恒过定点(0,2).由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以:必有一直线相切,一直线相交.则:圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2.故:,或解得:k=或0,(0舍去)或k=或0经检验,直线与曲线C2没有公共点.故C1的方程为:.【点评】本体考察知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线和曲线的位置关系的应用,点到直线的距离公式的应用. [选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知f(x)=|x+1|﹣|ax1﹣|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有【专题】15:综合题;38:对应思想;4R:转化法;5T:不等式.【分析】(1)去绝对值,化为分段函数,即可求出不等式的解集,(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,转化为即|ax1﹣|<1,即0<ax<2,转化为a<,且a>0,即可求出a的范围.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x1﹣|=,由f(x)>1,∴或,解得x>,故不等式f(x)>1的解集为(,+∞),(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,∴|x+1|﹣|ax1﹣|x﹣>0,即x+1﹣|ax1﹣|x﹣>0,即|ax1﹣|<1,∴1﹣<ax1﹣<1,∴0<ax<2,∵x∈(0,1),∴a>0,∴0<x<,∴a<∵>2,∴0<a≤2,故a的取值范围为(0,2].【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围,考查了运算能力和转化能力,属于中档题. 

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