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2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析

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2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析文字介绍:2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A={x|x1﹣≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）（1+i）（2i﹣）=（　　）A．﹣3i﹣B．﹣3+iC．3i﹣D．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　）A．B．C．D．4．（5分）若sinα=，则cos2α=（　　）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（　　）A．10B．20C．40D．806．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5分）函数y=x﹣4+x2+2的图象大致为（　　）A．B．C．D．8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（　　）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.39．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥DABC﹣体积的最大值为（　　）A．12B．18C．24D．5411．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（　　）A．B．2C．D．12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（　　）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜abD．ab＜0＜a+b　二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　　．14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=．15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为　　．16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=　　．　三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥MABC﹣体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．　[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）=|2x+1|+|x1﹣|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．　2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析　一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A={x|x1﹣≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．【解答】解：∵A={x|x1﹣≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．　2．（5分）（1+i）（2i﹣）=（　　）A．﹣3i﹣B．﹣3+iC．3i﹣D．3+i【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1+i）（2i﹣）=3+i．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．　3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．故选：A．【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．　4．（5分）若sinα=，则cos2α=（　　）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】cos2α=12sin﹣2α，由此能求出结果．【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=12sin﹣2α=12﹣×=．故选：B．【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．　5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（　　）A．10B．20C．40D．80【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1=（x2）5r﹣（）r=，由103r=4﹣，解得r=2，由此能求出（x2+）5的展开式中x4的系数．【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1=（x2）5r﹣（）r=，由103r=4﹣，解得r=2，∴（x2+）5的展开式中x4的系数为=40．故选：C．【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．　6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2，设P（2+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d==∈[]，由此能求出△ABP面积的取值范围．【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=2﹣，令y=0，得x=2﹣，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2，∵点P在圆（x2﹣）2+y2=2上，∴设P（2+，），∴点P到直线x+y+2=0的距离：d==，∵sin（）∈[1﹣，1]，∴d=∈[]，∴△ABP面积的取值范围是：[，]=[2，6]．故选：A．【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．　7．（5分）函数y=x﹣4+x2+2的图象大致为（　　）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=4x﹣3+2x=2x﹣（2x21﹣），由f′（x）＞0得2x（2x21﹣）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x21﹣）＞0，得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）=1﹣+1+2=2＞0，排除A，B，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．　8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（　　）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），P（x=4）＜P（X=6），可得，可得12p﹣＜0．即p．因为DX=2.4，可得10p（1p﹣）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．故选：B．【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．　9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】推导出S△ABC==，从而sinC==cosC，由此能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC==，∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．　10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥DABC﹣体积的最大值为（　　）A．12B．18C．24D．54【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在OO′的延长线与球的交点如图：OC=′=，OO=′=2，则三棱锥DABC﹣高的最大值为：6，则三棱锥DABC﹣体积的最大值为：=18．故选：B．【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．　11．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（　　）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22﹣|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得a=c，问题得以解决．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，∴|OP|===a，cos∠PF2O=，∵|PF1|=|OP|，∴|PF1|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22﹣|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2=b2+4c22﹣×b×2c×=4c23b﹣2=4c23﹣（c2a﹣2），即3a2=c2，即a=c，∴e==，故选：C．【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．　12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（　　）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜abD．ab＜0＜a+b【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案．【解答】解：∵a=log0.20.3=，b=log20.3=，∴=，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．　二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　　．【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量坐标运算法则求出=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，2），∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．　14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=　﹣3　．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y=ae′x+（ax+1）ex，曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=2﹣，解得a=3﹣．故答案为：﹣3．【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．　15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为　3　．【考点】51：函数的零点．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+）=0，可得3x+=+kπ，k∈Z，即x=+kπ，即可求出．【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：3【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．　16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=　2　．【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x1﹣），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x22﹣（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求k．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y=k（x1﹣），联立可得，k2x22﹣（2+k2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=1，∴y1+y2=k（x1+x22﹣）=，y1y2=k2（x11﹣）（x21﹣）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=4﹣，∵M（﹣1，1），∴=（x1+1，y11﹣），=（x2+1，y21﹣），∵∠AMB=90°，∴•=0∴（x1+1）（x2+1）+（y11﹣）（y21﹣）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴1+2+4﹣﹣+2=0，即k24k﹣+4=0，∴k=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．　三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式．（2）当a1=1，q=2﹣时，Sn=，由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，Sn=2n1﹣，由此能求出m．【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，an=2n1﹣，当q=2﹣时，an=（﹣2）n1﹣，∴{an}的通项公式为，an=2n1﹣，或an=（﹣2）n1﹣．（2）记Sn为{an}的前n项和．当a1=1，q=2﹣时，Sn===，由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，Sn===2n1﹣，由Sm=63，得Sm=2m1=63﹣，m∈N，解得m=6．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．　18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80；由此填写列联表如下；超过m不超过m总计第一种生产方式15520第二种生产方式51520总计202040（3）根据（2）中的列联表，计算K2===10＞6.635，∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．　19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥MABC﹣体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可．（2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可．【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC，∵AD∩DM=D，∴MC⊥平面ADM，∵MC⊂平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．（2）∵△ABC的面积为定值，∴要使三棱锥MABC﹣体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图∵正方形ABCD的边长为2，∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），则平面MCD的法向量=（1，0，0），设平面MAB的法向量为=（x，y，z）则=（0，2，0），=（﹣2，1，1），由•=2y=0，•=2x﹣+y+z=0，令x=1，则y=0，z=2，即=（1，0，2），则cos＜，＞===，则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα==．【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．　20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1x﹣2）+8m（y1y﹣2）=0，k==﹣=﹣又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k＜﹣，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2由++=，可得x31=0﹣，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex﹣1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐标再求公差．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1x﹣2）+4（y1+y2）（y1y﹣2）=0，即6（x1x﹣2）+8m（y1y﹣2）=0，∴k==﹣=﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2，∵++=，F（1，0），∴x11﹣+x21﹣+x31=0﹣，y1+y2+y3=0，∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=2m﹣∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=1﹣由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex﹣1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，联立，可得|x1x﹣2|=所以该数列的公差d满足2d=|x1x﹣2|=，∴该数列的公差为±．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．　21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用．【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f′（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0即可得出结论；（2）令h（x）为f′（x）的分子，令h″（0）计算a，讨论a的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a的值．【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．，，可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（0）=0，∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2=﹣，令h（x）=ax2x﹣+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h″（x）单调递减，①令h″（0）=0，解得a=﹣．∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（0）=0，∴h（x）单调递减，又h（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e1﹣）=（2a1﹣）（1e﹣）＜0，∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0，∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（﹣1）=（12a﹣）e2＞0，∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1，∴当x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．综上，a=﹣．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题．　（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【考点】QK：圆的参数方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，进而求出或，由此能求出α的取值范围．（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m21=0﹣，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）y2+2+2m21=0﹣，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．　[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）=|2x+1|+|x1﹣|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x1﹣）=3x﹣，当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x1﹣）=x+2，当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x1﹣）=3x，则f（x）=对应的图象为：画出y=f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值为5．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．　

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