2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析

2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析1 2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析2 2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析3 2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析4 2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析5 2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析6 2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析7 2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析8 2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析9 2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析10
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2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)+参考答案解析文字介绍:2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知集合A={x|x1﹣≥0},B={0,1,2},则A∩B=(  )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.(5分)(1+i)(2i﹣)=(  )A.﹣3i﹣B.﹣3+iC.3i﹣D.3+i3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  )A.B.C.D.4.(5分)若sinα=,则cos2α=(  )A.B.C.﹣D.﹣5.(5分)(x2+)5的展开式中x4的系数为(  )A.10B.20C.40D.806.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(  )A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]7.(5分)函数y=x﹣4+x2+2的图象大致为(  )A.B.C.D.8.(5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)<P(X=6),则p=(  )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.39.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(  )A.B.C.D.10.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥DABC﹣体积的最大值为(  )A.12B.18C.24D.5411.(5分)设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(  )A.B.2C.D.12.(5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(  )A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知向量=(1,2),=(2,﹣2),=(1,λ).若∥(2+),则λ=  .14.(5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a=.15.(5分)函数f(x)=cos(3x+)在[0,π]的零点个数为  .16.(5分)已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=  . 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=,P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)当三棱锥MABC﹣体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.21.(12分)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.(1)若a=0,证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为,(θ为参数),过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程. [选修4-5:不等式选讲](10分)23.设函数f(x)=|2x+1|+|x1﹣|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值. 2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)参考答案与试题解析 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)已知集合A={x|x1﹣≥0},B={0,1,2},则A∩B=(  )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】37:集合思想;4A:数学模型法;5J:集合.【分析】求解不等式化简集合A,再由交集的运算性质得答案.【解答】解:∵A={x|x1﹣≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={x|x≥1}∩{0,1,2}={1,2}.故选:C.【点评】本题考查了交集及其运算,是基础题. 2.(5分)(1+i)(2i﹣)=(  )A.﹣3i﹣B.﹣3+iC.3i﹣D.3+i【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5N:数系的扩充和复数.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解:(1+i)(2i﹣)=3+i.故选:D.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题. 3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  )A.B.C.D.【考点】L7:简单空间图形的三视图.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法,判断选项的正误即可.【解答】解:由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体,是榫头,从图形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形,并且一条边重合,另外3边是虚线,所以木构件的俯视图是A.故选:A.【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法,是基本知识的考查. 4.(5分)若sinα=,则cos2α=(  )A.B.C.﹣D.﹣【考点】GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;56:三角函数的求值.【分析】cos2α=12sin﹣2α,由此能求出结果.【解答】解:∵sinα=,∴cos2α=12sin﹣2α=12﹣×=.故选:B.【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法,考查二倍角公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 5.(5分)(x2+)5的展开式中x4的系数为(  )A.10B.20C.40D.80【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5P:二项式定理.【分析】由二项式定理得(x2+)5的展开式的通项为:Tr+1=(x2)5r﹣()r=,由103r=4﹣,解得r=2,由此能求出(x2+)5的展开式中x4的系数.【解答】解:由二项式定理得(x2+)5的展开式的通项为:Tr+1=(x2)5r﹣()r=,由103r=4﹣,解得r=2,∴(x2+)5的展开式中x4的系数为=40.故选:C.【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法,考查二项式定理、通项公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 6.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(  )A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]【考点】J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5B:直线与圆.【分析】求出A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=2,设P(2+,),点P到直线x+y+2=0的距离:d==∈[],由此能求出△ABP面积的取值范围.【解答】解:∵直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,∴令x=0,得y=2﹣,令y=0,得x=2﹣,∴A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|==2,∵点P在圆(x2﹣)2+y2=2上,∴设P(2+,),∴点P到直线x+y+2=0的距离:d==,∵sin()∈[1﹣,1],∴d=∈[],∴△ABP面积的取值范围是:[,]=[2,6].故选:A.【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法,考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题. 7.(5分)函数y=x﹣4+x2+2的图象大致为(  )A.B.C.D.【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有【专题】38:对应思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】根据函数图象的特点,求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可.【解答】解:函数过定点(0,2),排除A,B.函数的导数f′(x)=4x﹣3+2x=2x﹣(2x21﹣),由f′(x)>0得2x(2x21﹣)<0,得x<﹣或0<x<,此时函数单调递增,由f′(x)<0得2x(2x21﹣)>0,得x>或﹣<x<0,此时函数单调递减,排除C,也可以利用f(1)=1﹣+1+2=2>0,排除A,B,故选:D.【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键. 8.(5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)<P(X=6),则p=(  )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.【分析】利用已知条件,转化为二项分布,利用方差转化求解即可.【解答】解:某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,看做是独立重复事件,满足X~B(10,p),P(x=4)<P(X=6),可得,可得12p﹣<0.即p.因为DX=2.4,可得10p(1p﹣)=2.4,解得p=0.6或p=0.4(舍去).故选:B.【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法,独立重复事件的应用,考查转化思想以及计算能力. 9.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(  )A.B.C.D.【考点】HR:余弦定理.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形.【分析】推导出S△ABC==,从而sinC==cosC,由此能求出结果.【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.△ABC的面积为,∴S△ABC==,∴sinC==cosC,∵0<C<π,∴C=.故选:C.【点评】本题考查三角形内角的求法,考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 10.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥DABC﹣体积的最大值为(  )A.12B.18C.24D.54【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LG:球的体积和表面积.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.【分析】求出,△ABC为等边三角形的边长,画出图形,判断D的位置,然后求解即可.【解答】解:△ABC为等边三角形且面积为9,可得,解得AB=6,球心为O,三角形ABC的外心为O′,显然D在OO′的延长线与球的交点如图:OC=′=,OO=′=2,则三棱锥DABC﹣高的最大值为:6,则三棱锥DABC﹣体积的最大值为:=18.故选:B.【点评】本题考查球的内接多面体,棱锥的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 11.(5分)设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(  )A.B.2C.D.【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;38:对应思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b,再求出|OP|=a,在三角形F1PF2中由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22﹣|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O,代值化简整理可得a=c,问题得以解决.【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的一条渐近线方程为y=x,∴点F2到渐近线的距离d==b,即|PF2|=b,∴|OP|===a,cos∠PF2O=,∵|PF1|=|OP|,∴|PF1|=a,在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22﹣|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O,∴6a2=b2+4c22﹣×b×2c×=4c23b﹣2=4c23﹣(c2a﹣2),即3a2=c2,即a=c,∴e==,故选:C.【点评】本题考查了双曲线的简单性质,点到直线的距离公式,余弦定理,离心率,属于中档题. 12.(5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(  )A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b【考点】4M:对数值大小的比较.菁优网版权所有【专题】33:函数思想;48:分析法;51:函数的性质及应用.【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案.【解答】解:∵a=log0.20.3=,b=log20.3=,∴=,,∵,,∴ab<a+b<0.故选:B.【点评】本题考查了对数值大小的比较,考查了对数的运算性质,是中档题. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知向量=(1,2),=(2,﹣2),=(1,λ).若∥(2+),则λ=  .【考点】96:平行向量(共线);9J:平面向量的坐标运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5A:平面向量及应用.【分析】利用向量坐标运算法则求出=(4,2),再由向量平行的性质能求出λ的值.【解答】解:∵向量=(1,2),=(2,﹣2),∴=(4,2),∵=(1,λ),∥(2+),∴,解得λ=.故答案为:.【点评】本题考查实数值的求法,考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 14.(5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a= ﹣3 .【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;53:导数的综合应用.【分析】球心函数的导数,利用切线的斜率列出方程求解即可.【解答】解:曲线y=(ax+1)ex,可得y=ae′x+(ax+1)ex,曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,可得:a+1=2﹣,解得a=3﹣.故答案为:﹣3.【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法,考查转化思想以及计算能力. 15.(5分)函数f(x)=cos(3x+)在[0,π]的零点个数为 3 .【考点】51:函数的零点.菁优网版权所有【专题】11:计算题;38:对应思想;4O:定义法;57:三角函数的图像与性质【分析】由题意可得f(x)=cos(3x+)=0,可得3x+=+kπ,k∈Z,即x=+kπ,即可求出.【解答】解:∵f(x)=cos(3x+)=0,∴3x+=+kπ,k∈Z,∴x=+kπ,k∈Z,当k=0时,x=,当k=1时,x=π,当k=2时,x=π,当k=3时,x=π,∵x∈[0,π],∴x=,或x=π,或x=π,故零点的个数为3,故答案为:3【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题,属于基础题. 16.(5分)已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= 2 .【考点】K8:抛物线的性质;KN:直线与抛物线的综合.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由已知可求过A,B两点的直线方程为y=k(x1﹣),然后联立直线与抛物线方程组可得,k2x22﹣(2+k2)x+k2=0,可表示x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2,由∠AMB=90°,向量的数量积为0,代入整理可求k.【解答】解:∵抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),∴过A,B两点的直线方程为y=k(x1﹣),联立可得,k2x22﹣(2+k2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,∴y1+y2=k(x1+x22﹣)=,y1y2=k2(x11﹣)(x21﹣)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=4﹣,∵M(﹣1,1),∴=(x1+1,y11﹣),=(x2+1,y21﹣),∵∠AMB=90°,∴•=0∴(x1+1)(x2+1)+(y11﹣)(y21﹣)=0,整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2﹣(y1+y2)+2=0,∴1+2+4﹣﹣+2=0,即k24k﹣+4=0,∴k=2.故答案为:2【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用,解题的难点是本题具有较大的计算量. 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.【考点】89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列.【分析】(1)利用等比数列通项公式列出方程,求出公比q=±2,由此能求出{an}的通项公式.(2)当a1=1,q=2﹣时,Sn=,由Sm=63,得Sm==63,m∈N,无解;当a1=1,q=2时,Sn=2n1﹣,由此能求出m.【解答】解:(1)∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.∴1×q4=4×(1×q2),解得q=±2,当q=2时,an=2n1﹣,当q=2﹣时,an=(﹣2)n1﹣,∴{an}的通项公式为,an=2n1﹣,或an=(﹣2)n1﹣.(2)记Sn为{an}的前n项和.当a1=1,q=2﹣时,Sn===,由Sm=63,得Sm==63,m∈N,无解;当a1=1,q=2时,Sn===2n1﹣,由Sm=63,得Sm=2m1=63﹣,m∈N,解得m=6.【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=,P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】BL:独立性检验.菁优网版权所有【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5I:概率与统计.【分析】(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数,再填写列联表;(3)列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论.【解答】解:(1)根据茎叶图中的数据知,第一种生产方式的工作时间主要集中在72~92之间,第二种生产方式的工作时间主要集中在65~85之间,所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,排在中间的两个数据是79和81,计算它们的中位数为m==80;由此填写列联表如下;超过m不超过m总计第一种生产方式15520第二种生产方式51520总计202040(3)根据(2)中的列联表,计算K2===10>6.635,∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题. 19.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)当三棱锥MABC﹣体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.【考点】LY:平面与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;4R:转化法;5F:空间位置关系与距离;5H:空间向量及应用.【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可.(2)根据三棱锥的体积最大,确定M的位置,建立空间直角坐标系,求出点的坐标,利用向量法进行求解即可.【解答】解:(1)证明:在半圆中,DM⊥MC,∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,∴AD⊥平面DCM,则AD⊥MC,∵AD∩DM=D,∴MC⊥平面ADM,∵MC⊂平面MBC,∴平面AMD⊥平面BMC.(2)∵△ABC的面积为定值,∴要使三棱锥MABC﹣体积最大,则三棱锥的高最大,此时M为圆弧的中点,建立以O为坐标原点,如图所示的空间直角坐标系如图∵正方形ABCD的边长为2,∴A(2,﹣1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),则平面MCD的法向量=(1,0,0),设平面MAB的法向量为=(x,y,z)则=(0,2,0),=(﹣2,1,1),由•=2y=0,•=2x﹣+y+z=0,令x=1,则y=0,z=2,即=(1,0,2),则cos<,>===,则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα==.【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解,利用相应的判定定理以及建立坐标系,利用向量法是解决本题的关键. 20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.【考点】K3:椭圆的标准方程;KL:直线与椭圆的综合.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;49:综合法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用点差法得6(x1x﹣2)+8m(y1y﹣2)=0,k==﹣=﹣又点M(1,m)在椭圆内,即,解得m的取值范围,即可得k<﹣,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),可得x1+x2=2由++=,可得x31=0﹣,由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex﹣1=2﹣x1,|FB|=2﹣x2,|FP|=2﹣x3=.即可证明|FA|+|FB|=2|FP|,求得A,B坐标再求公差.【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),∵线段AB的中点为M(1,m),∴x1+x2=2,y1+y2=2m将A,B代入椭圆C:+=1中,可得,两式相减可得,3(x1+x2)(x1x﹣2)+4(y1+y2)(y1y﹣2)=0,即6(x1x﹣2)+8m(y1y﹣2)=0,∴k==﹣=﹣点M(1,m)在椭圆内,即,解得0<m∴.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),可得x1+x2=2,∵++=,F(1,0),∴x11﹣+x21﹣+x31=0﹣,y1+y2+y3=0,∴x3=1,y3=﹣(y1+y2)=2m﹣∵m>0,可得P在第四象限,故y3=﹣,m=,k=1﹣由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex﹣1=2﹣x1,|FB|=2﹣x2,|FP|=2﹣x3=.则|FA|+|FB|=4﹣,∴|FA|+|FB|=2|FP|,联立,可得|x1x﹣2|=所以该数列的公差d满足2d=|x1x﹣2|=,∴该数列的公差为±.【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查了点差法、焦半径公式,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用与计算能力的考查.属于中档题. 21.(12分)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.(1)若a=0,证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.【考点】6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有【专题】34:方程思想;35:转化思想;48:分析法;53:导数的综合应用.【分析】(1)对函数f(x)两次求导数,分别判断f′(x)和f(x)的单调性,结合f(0)=0即可得出结论;(2)令h(x)为f′(x)的分子,令h″(0)计算a,讨论a的范围,得出f(x)的单调性,从而得出a的值.【解答】(1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x,(x>﹣1).,,可得x∈(﹣1,0)时,f″(x)≤0,x∈(0,+∞)时,f″(x)≥0∴f′(x)在(﹣1,0)递减,在(0,+∞)递增,∴f′(x)≥f′(0)=0,∴f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x在(﹣1,+∞)上单调递增,又f(0)=0.∴当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)解:由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x,得f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+2=﹣,令h(x)=ax2x﹣+(1+2ax)(1+x)ln(x+1),h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1).当a≥0,x>0时,h′(x)>0,h(x)单调递增,∴h(x)>h(0)=0,即f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,故x=0不是f(x)的极大值点,不符合题意.当a<0时,h″(x)=8a+4aln(x+1)+,显然h″(x)单调递减,①令h″(0)=0,解得a=﹣.∴当﹣1<x<0时,h″(x)>0,当x>0时,h″(x)<0,∴h′(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴h′(x)≤h′(0)=0,∴h(x)单调递减,又h(0)=0,∴当﹣1<x<0时,h(x)>0,即f′(x)>0,当x>0时,h(x)<0,即f′(x)<0,∴f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴x=0是f(x)的极大值点,符合题意;②若﹣<a<0,则h″(0)=1+6a>0,h″(e1﹣)=(2a1﹣)(1e﹣)<0,∴h″(x)=0在(0,+∞)上有唯一一个零点,设为x0,∴当0<x<x0时,h″(x)>0,h′(x)单调递增,∴h′(x)>h′(0)=0,即f′(x)>0,∴f(x)在(0,x0)上单调递增,不符合题意;③若a<﹣,则h″(0)=1+6a<0,h″(﹣1)=(12a﹣)e2>0,∴h″(x)=0在(﹣1,0)上有唯一一个零点,设为x1,∴当x1<x<0时,h″(x)<0,h′(x)单调递减,∴h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)单调递增,∴h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0,∴f(x)在(x1,0)上单调递减,不符合题意.综上,a=﹣.【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系,函数单调性与极值的计算,零点的存在性定理,属于难题. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为,(θ为参数),过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.【考点】QK:圆的参数方程.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5S:坐标系和参数方程.【分析】(1)⊙O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,当α=时,直线l的方程为x=0,成立;当α≠时,过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+,从而圆心O(0,0)到直线l的距离d=<1,进而求出或,由此能求出α的取值范围.(2)设直线l的方程为x=m(y+),联立,得(m2+1)y2+2+2m21=0﹣,由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程.【解答】解:(1)∵⊙O的参数方程为(θ为参数),∴⊙O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,当α=时,过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l的方程为x=0,成立;当α≠时,过点(0,﹣)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣,∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点,∴圆心O(0,0)到直线l的距离d=<1,∴tan2α>1,∴tanα>1或tanα<﹣1,∴或,综上α的取值范围是(,).(2)由(1)知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=m(y+),设A(x1,y1),(B(x2,y2),P(x3,y3),联立,得(m2+1)y2+2+2m21=0﹣,,=﹣+2,=,=﹣,∴AB中点P的轨迹的参数方程为,(m为参数),(﹣1<m<1).【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法,考查线段的中点的参数方程的求法,考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识,考查数形结合思想的灵活运用,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题. [选修4-5:不等式选讲](10分)23.设函数f(x)=|2x+1|+|x1﹣|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;5B:分段函数的应用.菁优网版权所有【专题】31:数形结合;4R:转化法;51:函数的性质及应用;59:不等式的解法及应用.【分析】(1)利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可.(2)将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可.【解答】解:(1)当x≤﹣时,f(x)=﹣(2x+1)﹣(x1﹣)=3x﹣,当﹣<x<1,f(x)=(2x+1)﹣(x1﹣)=x+2,当x≥1时,f(x)=(2x+1)+(x1﹣)=3x,则f(x)=对应的图象为:画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,当x=0时,f(0)=2≤0•a+b,∴b≥2,当x>0时,要使f(x)≤ax+b恒成立,则函数f(x)的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上,∵f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2,且各部分直线的斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,不等式f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,即a+b的最小值为5.【点评】本题主要考查分段函数的应用,利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键. 

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