2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析1 2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析2 2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析3 2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析4 2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析5 2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析6 2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析7 2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析8 2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析9 2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析10
试读已结束,还剩20页未读,您可下载完整版后进行离线阅读

《2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析》是由用户上传到老师板报网,类型是数学试卷,大小为388.5 KB,总共有30页,格式为doc。授权方式为VIP用户下载,成为老师板报网VIP用户马上下载此课件。文件完整,下载后可编辑修改。更多关于请在老师板报网直接搜索

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)+参考答案解析文字介绍:2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A={x|x22x3﹣﹣≥0},B={x|2﹣≤x<2},则A∩B=(  )A.[1,2)B.[1﹣,1]C.[1﹣,2)D.[2﹣,﹣1]2.(5分)=(  )A.1+iB.1i﹣C.﹣1+iD.﹣1i﹣3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(  )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数4.(5分)已知F为双曲线C:x2my﹣2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(  )A.B.3C.mD.3m5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(  )A.B.C.D.6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为(  )A.B.C.D.7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(  )A.B.C.D.8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则( )A.3αβ=﹣B.3α+β=C.2αβ=﹣D.2α+β=9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥2p﹣2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤1﹣其中真命题是(  )A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p310.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=(  )A.B.3C.D.211.(5分)已知函数f(x)=ax33x﹣2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是(  )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2)12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(  )A.6B.6C.4D.4 二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(xy﹣)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为  .(用数字填写答案)14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为  .15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为  .16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinAsinB﹣)=(cb﹣)sinC,则△ABC面积的最大值为  . 三、解答题17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn1﹣,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:an+2a﹣n=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2)则P(μσ﹣<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ2σ﹣<Z<μ+2σ)=0.9544.19.(12分)如图,三棱柱ABCA﹣1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明:AC=AB1;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角AA﹣1B1C﹣1的余弦值.20.(12分)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.21.(12分)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x1﹣)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1. 选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形. 选修4-4:坐标系与参数方程23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 选修4-5:不等式选讲24.若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由. 2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A={x|x22x3﹣﹣≥0},B={x|2﹣≤x<2},则A∩B=(  )A.[1,2)B.[1﹣,1]C.[1﹣,2)D.[2﹣,﹣1]【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】5J:集合.【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.【解答】解:由A中不等式变形得:(x3﹣)(x+1)≥0,解得:x≥3或x≤1﹣,即A=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),∵B=[2﹣,2),∴A∩B=[2﹣,﹣1].故选:D.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.(5分)=(  )A.1+iB.1i﹣C.﹣1+iD.﹣1i﹣【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.【解答】解:==﹣(1+i)=1i﹣﹣,故选:D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题. 3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(  )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【解答】解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f﹣(x),g(﹣x)=g(x),f(﹣x)•g(﹣x)=f﹣(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,|f(﹣x)|•g(﹣x)=|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,f(﹣x)•|g(﹣x)|=f﹣(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.|f(﹣x)•g(﹣x)|=|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,故选:C.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键. 4.(5分)已知F为双曲线C:x2my﹣2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(  )A.B.3C.mD.3m【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.【解答】解:双曲线C:x2my﹣2=3m(m>0)可化为,∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为=0,∴点F到C的一条渐近线的距离为=.故选:A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题 5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(  )A.B.C.D.【考点】C6:等可能事件和等可能事件的概率.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5I:概率与统计.【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况,利用古典概型概率公式求解即可.【解答】解:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24=16种情况,周六、周日都有同学参加公益活动,共有242=162=14﹣﹣种情况,∴所求概率为=.故选:D.【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为(  )A.B.C.D.【考点】3P:抽象函数及其应用.菁优网版权所有【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】在直角三角形OMP中,求出OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.【解答】解:在直角三角形OMP中,OP=1,∠POM=x,则OM=|cosx|,∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|,其周期为T=,最大值为,最小值为0,故选:C.【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用. 7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(  )A.B.C.D.【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.【解答】解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.故选:D.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法. 8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则( )A.3αβ=﹣B.3α+β=C.2αβ=﹣D.2α+β=【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值.菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值.【分析】化切为弦,整理后得到sin(αβ﹣)=cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项A,B,然后验证C满足等式sin(αβ﹣)=cosα,则答案可求.【解答】解:由tanα=,得:,即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,sin(αβ﹣)=cosα=sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴当时,sin(αβ﹣)=sin()=cosα成立.故选:C.【点评】本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题是基础题. 9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥2p﹣2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤1﹣其中真命题是(  )A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【考点】2K:命题的真假判断与应用;7A:二元一次不等式的几何意义.菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用;5L:简易逻辑.【分析】作出不等式组的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可.【解答】解:作出图形如下:由图知,区域D为直线x+y=1与x2y=4﹣相交的上部角型区域,p1:区域D在x+2y≥2﹣区域的上方,故:∀(x,y)∈D,x+2y≥2﹣成立;p2:在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内,∃(x,y)∈D,x+2y≥2,故p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2正确;p3:由图知,区域D有部分在直线x+2y=3的上方,因此p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3错误;p4:x+2y≤1﹣的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方,故p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤1﹣错误;综上所述,p1、p2正确;故选:C.【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于难题. 10.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=(  )A.B.3C.D.2【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求得直线PF的方程,与y2=8x联立可得x=1,利用|QF|=d可求.【解答】解:设Q到l的距离为d,则|QF|=d,∵=4,∴|PQ|=3d,∴不妨设直线PF的斜率为﹣=2﹣,∵F(2,0),∴直线PF的方程为y=2﹣(x2﹣),与y2=8x联立可得x=1,∴|QF|=d=1+2=3,故选:B.【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题. 11.(5分)已知函数f(x)=ax33x﹣2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是(  )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2)【考点】53:函数的零点与方程根的关系.菁优网版权所有【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用;53:导数的综合应用.【分析】由题意可得f′(x)=3ax26x=3x﹣(ax2﹣),f(0)=1;分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.【解答】解:∵f(x)=ax33x﹣2+1,∴f′(x)=3ax26x=3x﹣(ax2﹣),f(0)=1;①当a=0时,f(x)=3x﹣2+1有两个零点,不成立;②当a>0时,f(x)=ax33x﹣2+1在(﹣∞,0)上有零点,故不成立;③当a<0时,f(x)=ax33x﹣2+1在(0,+∞)上有且只有一个零点;故f(x)=ax33x﹣2+1在(﹣∞,0)上没有零点;而当x=时,f(x)=ax33x﹣2+1在(﹣∞,0)上取得最小值;故f()=3•﹣+1>0;故a<﹣2;综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2);故选:D.【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用,属于基础题. 12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(  )A.6B.6C.4D.4【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可.【解答】解:几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C到BD的中点的距离为:4,∴.AC==6,AD=4,显然AC最长.长为6.故选:B.【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力. 二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(xy﹣)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 ﹣20 .(用数字填写答案)【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5P:二项式定理.【分析】由题意依次求出(x+y)8中xy7,x2y6,项的系数,求和即可.【解答】解:(x+y)8的展开式中,含xy7的系数是:8.含x2y6的系数是28,∴(xy﹣)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为:828=20﹣﹣.故答案为:﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力. 14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为 A .【考点】F4:进行简单的合情推理.菁优网版权所有【专题】5M:推理和证明.【分析】可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.【解答】解:由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为A.故答案为:A.【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题 15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为 90° .【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.菁优网版权所有【专题】5A:平面向量及应用.【分析】根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论.【解答】解:在圆中若=(+),即2=+,即+的和向量是过A,O的直径,则以AB,AC为邻边的四边形是矩形,则⊥,即与的夹角为90°,故答案为:90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础. 16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinAsinB﹣)=(cb﹣)sinC,则△ABC面积的最大值为  .【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;48:分析法;58:解三角形.【分析】由正弦定理化简已知可得2ab﹣2=c2bc﹣,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解:因为:(2+b)(sinAsinB﹣)=(cb﹣)sinC⇒(2+b)(ab﹣)=(cb﹣)c⇒2a2b﹣+abb﹣2=c2bc﹣,又因为:a=2,所以:,△ABC面积,而b2+c2a﹣2=bc⇒b2+c2bc=a﹣2⇒b2+c2bc=4﹣⇒bc≤4所以:,即△ABC面积的最大值为.故答案为:.【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 三、解答题17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn1﹣,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:an+2a﹣n=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.【考点】83:等差数列的性质;8H:数列递推式.菁优网版权所有【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)利用anan+1=λSn1﹣,an+1an+2=λSn+11﹣,相减即可得出;(Ⅱ)假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.可得λ=an+2a﹣n=(an+2﹣an+1)+(an+1a﹣n)=2d,.得到λSn=,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.【解答】(Ⅰ)证明:∵anan+1=λSn1﹣,an+1an+2=λSn+11﹣,∴an+1(an+2a﹣n)=λan+1∵an+1≠0,∴an+2a﹣n=λ.(Ⅱ)解:假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.则λ=an+2a﹣n=(an+2a﹣n+1)+(an+1a﹣n)=2d,∴.∴,,∴λSn=1+=,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ=4.此时可得,an=2n1﹣.因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题. 18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2)则P(μσ﹣<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ2σ﹣<Z<μ+2σ)=0.9544.【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出;(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而求出P(187.8<Z<212.2),注意运用所给数据;(ii)由(i)知X~B(100,0.6826),运用EX=np即可求得.【解答】解:(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(﹣30)2×0.02+(﹣20)2×0.09+(﹣10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(20012.2﹣<Z<200+12.2)=0.6826;(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力. 19.(12分)如图,三棱柱ABCA﹣1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明:AC=AB1;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角AA﹣1B1C﹣1的余弦值.【考点】M7:空间向量的夹角与距离求解公式;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有【专题】5H:空间向量及应用.【分析】(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,可证B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,进而可得AC=AB1;(2)以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值.【解答】解:(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,∵侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,且O为BC1和B1C的中点,又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,又B10=CO,∴AC=AB1,(2)∵AC⊥AB1,且O为B1C的中点,∴AO=CO,又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,∴OA,OB,OB1两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为正三角形,又AB=BC,∴A(0,0,),B(1,0,0,),B1(0,,0),C(0,,0)∴=(0,,),==(1,0,),==(﹣1,,0),设向量=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则,可取=(1,,),同理可得平面A1B1C1的一个法向量=(1,﹣,),∴cos<,>==,∴二面角AA﹣1B1C﹣1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键属中档题. 20.(12分)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.【考点】K4:椭圆的性质;KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(Ⅰ)通过离心率得到a、c关系,通过A求出a,即可求E的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx2﹣,设P(x1,y1),Q(x2,y2)将y=kx2﹣代入,利用△>0,求出k的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程.【解答】解:(Ⅰ)设F(c,0),由条件知,得又,所以a=2,b2=a2c﹣2=1,故E的方程.….(5分)(Ⅱ)依题意当l⊥x轴不合题意,故设直线l:y=kx2﹣,设P(x1,y1),Q(x2,y2)将y=kx2﹣代入,得(1+4k2)x216kx﹣+12=0,当△=16(4k23﹣)>0,即时,从而又点O到直线PQ的距离,所以△OPQ的面积=,设,则t>0,,当且仅当t=2,k=±等号成立,且满足△>0,所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为:y=x2﹣或y=﹣x2﹣.…(12分)【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力. 21.(12分)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x1﹣)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.【考点】6E:利用导数研究函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】15:综合题;53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)>1等价于xlnx>xex﹣﹣,设函数g(x)=xlnx,函数h(x)=,只需证明g(x)min>h(x)max,利用导数可分别求得g(x)min,h(x)max;【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+,由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=exlnx+,∵f(x)>1,∴exlnx+>1,∴lnx>﹣,∴f(x)>1等价于xlnx>xex﹣﹣,设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx,∴当x∈(0,)时,g′(x)<0;当x∈(,+∞)时,g′(x)>0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=﹣.设函数h(x)=xex﹣﹣,则h′(x)=ex﹣(1x﹣).∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力. 选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.【考点】NB:弦切角;NC:与圆有关的比例线段.菁优网版权所有【专题】15:综合题;5M:推理和证明.【分析】(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由CB=CE,可得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E,即可证明△ADE为等边三角形.【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠D=∠CBE,∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E;(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,∴O在直线MN上,∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE,∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE为等边三角形.【点评】本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 选修4-4:坐标系与参数方程23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合;QH:参数方程化成普通方程.菁优网版权所有【专题】5S:坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x2﹣,代入②并整理得:2x+y6=0﹣;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=1﹣时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题. 选修4-5:不等式选讲24.若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【考点】RI:平均值不等式.菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥2,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.(Ⅱ)根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b>8,从而可得不存在a,b,使得2a+3b=6.【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,∴=+≥2,∴ab≥2,当且仅当a=b=时取等号.∵a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,∴a3+b3的最小值为4.(Ⅱ)∵2a+3b≥2=2,当且仅当2a=3b时,取等号.而由(1)可知,2≥2=4>6,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题. 

关键字:

单价:4.99 会员免费
开通会员可免费下载任意资料
  • 页数:30页
  • 大小:388.5 KB
  • 编号:7904
  • 类型:VIP资料
  • 格式:doc
  • 提示:数字产品不支持退货