2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析1 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析2 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析3 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析4 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析5 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析6 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析7 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析8 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析9 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析10
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2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)+参考答案解析文字介绍:2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合M={x|1﹣<x<3},N={x|2﹣<x<1},则M∩N=(  )A.(﹣2,1)B.(﹣1,1)C.(1,3)D.(﹣2,3)2.(5分)若tanα>0,则(  )A.sinα>0B.cosα>0C.sin2α>0D.cos2α>03.(5分)设z=+i,则|z|=(  )A.B.C.D.24.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0)的离心率为2,则实数a=(  )A.2B.C.D.15.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(  )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数6.(5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.7.(5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为(  )A.①②③B.①③④C.②④D.①③8.(5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是(  )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(  )A.B.C.D.10.(5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,则x0=(  )A.1B.2C.4D.811.(5分)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.﹣5B.3C.﹣5或3D.5或﹣312.(5分)已知函数f(x)=ax33x﹣2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是(  )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.(5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为  .14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为  .15.(5分)设函数f(x)=,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是  .16.(5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=  m. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.(12分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x25x﹣+6=0的根.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.18.(12分)从某企业生产的产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数62638228(1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?19.(12分)如图,三棱柱ABCA﹣1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABCA﹣1B1C1的高.20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y28y=0﹣,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.21.(12分)设函数f(x)=alnx+x2bx﹣(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围. 请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。【选修4-1:几何证明选讲】22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【选修4-5:不等式选讲】24.若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由. 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合M={x|1﹣<x<3},N={x|2﹣<x<1},则M∩N=(  )A.(﹣2,1)B.(﹣1,1)C.(1,3)D.(﹣2,3)【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】5J:集合.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解:M={x|1﹣<x<3},N={x|2﹣<x<1},则M∩N={x|1﹣<x<1},故选:B.【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.(5分)若tanα>0,则(  )A.sinα>0B.cosα>0C.sin2α>0D.cos2α>0【考点】GC:三角函数值的符号.菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值.【分析】化切为弦,然后利用二倍角的正弦得答案.【解答】解:∵tanα>0,∴,则sin2α=2sinαcosα>0.故选:C.【点评】本题考查三角函数值的符号,考查了二倍角的正弦公式,是基础题. 3.(5分)设z=+i,则|z|=(  )A.B.C.D.2【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5N:数系的扩充和复数.【分析】先求z,再利用求模的公式求出|z|.【解答】解:z=+i=+i=.故|z|==.故选:B.【点评】本题考查复数代数形式的运算,属于容易题. 4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0)的离心率为2,则实数a=(  )A.2B.C.D.1【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由双曲线方程找出a,b,c,代入离心率,从而求出a.【解答】解:由题意,e===2,解得,a=1.故选:D.【点评】本题考查了双曲线的定义,属于基础题. 5.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(  )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【解答】解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f﹣(x),g(﹣x)=g(x),f(﹣x)•g(﹣x)=f﹣(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,|f(﹣x)|•g(﹣x)=|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,f(﹣x)•|g(﹣x)|=f﹣(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.|f(﹣x)•g(﹣x)|=|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,故选:C.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键. 6.(5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.菁优网版权所有【专题】5A:平面向量及应用.【分析】利用向量加法的三角形法则,将,分解为+和+的形式,进而根据D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案.【解答】解:∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,∴+=(+)+(+)=+=(+)=,故选:A.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键. 7.(5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为(  )A.①②③B.①③④C.②④D.①③【考点】H1:三角函数的周期性.菁优网版权所有【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论.【解答】解:∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x,它的最小正周期为=π,②y=丨cosx丨的最小正周期为=π,③y=cos(2x+)的最小正周期为=π,④y=tan(2x﹣)的最小正周期为,故选:A.【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法,属于基础题. 8.(5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是(  )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【考点】L7:简单空间图形的三视图.菁优网版权所有【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项.【解答】解:根据网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,可知几何体如图:几何体是三棱柱.故选:B.【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法,考查空间想象能力. 9.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(  )A.B.C.D.【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.【解答】解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.故选:D.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法. 10.(5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,则x0=(  )A.1B.2C.4D.8【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出.【解答】解:抛物线C:y2=x的焦点为F,∵A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,x0>0.∴=x0+,解得x0=1.故选:A.【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式,属于基础题. 11.(5分)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.﹣5B.3C.﹣5或3D.5或﹣3【考点】7F:基本不等式及其应用.菁优网版权所有【专题】5B:直线与圆.【分析】如图所示,当a≥1时,由,解得.当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7,同理对a<1得出.【解答】解:如图所示,当a≥1时,由,解得,y=.∴.当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7,∴,化为a2+2a15=0﹣,解得a=3,a=5﹣舍去.当a<1时,不符合条件.故选:B.【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点,考查了数形结合的思想方法,属于中档题. 12.(5分)已知函数f(x)=ax33x﹣2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是(  )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2)【考点】53:函数的零点与方程根的关系.菁优网版权所有【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用;53:导数的综合应用.【分析】由题意可得f′(x)=3ax26x=3x﹣(ax2﹣),f(0)=1;分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.【解答】解:∵f(x)=ax33x﹣2+1,∴f′(x)=3ax26x=3x﹣(ax2﹣),f(0)=1;①当a=0时,f(x)=3x﹣2+1有两个零点,不成立;②当a>0时,f(x)=ax33x﹣2+1在(﹣∞,0)上有零点,故不成立;③当a<0时,f(x)=ax33x﹣2+1在(0,+∞)上有且只有一个零点;故f(x)=ax33x﹣2+1在(﹣∞,0)上没有零点;而当x=时,f(x)=ax33x﹣2+1在(﹣∞,0)上取得最小值;故f()=3•﹣+1>0;故a<﹣2;综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2);故选:D.【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用,属于基础题. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.(5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为  .【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】首先求出所有的基本事件的个数,再从中找到2本数学书相邻的个数,最后根据概率公式计算即可.【解答】解:2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,所有的基本事件有共有=6种结果,其中2本数学书相邻的有(数学1,数学2,语文),(数学2,数学1,语文),(语文,数学1,数学2),(语文,数学2,数学1)共4个,故本数学书相邻的概率P=.故答案为:.【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用,关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件. 14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为 A .【考点】F4:进行简单的合情推理.菁优网版权所有【专题】5M:推理和证明.【分析】可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.【解答】解:由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为A.故答案为:A.【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题 15.(5分)设函数f(x)=,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是 x≤8 .【考点】5B:分段函数的应用.菁优网版权所有【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用.【分析】利用分段函数,结合f(x)≤2,解不等式,即可求出使得f(x)≤2成立的x的取值范围.【解答】解:x<1时,ex1﹣≤2,∴x≤ln2+1,∴x<1;x≥1时,≤2,∴x≤8,∴1≤x≤8,综上,使得f(x)≤2成立的x的取值范围是x≤8.故答案为:x≤8.【点评】本题考查不等式的解法,考查分段函数,考查学生的计算能力,属于基础题. 16.(5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN= 150 m.【考点】HU:解三角形.菁优网版权所有【专题】12:应用题;58:解三角形.【分析】△ABC中,由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC;△AMC中,由条件利用正弦定理求得AM;Rt△AMN中,根据MN=AM•sin∠MAN,计算求得结果.【解答】解:△ABC中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100,∴AC==100.△AMC中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°,∴∠AMC=45°,由正弦定理可得,解得AM=100.Rt△AMN中,MN=AM•sin∠MAN=100×sin60°=150(m),故答案为:150.【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.(12分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x25x﹣+6=0的根.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.【考点】84:等差数列的通项公式;8E:数列的求和.菁优网版权所有【专题】15:综合题;54:等差数列与等比数列.【分析】(1)解出方程的根,根据数列是递增的求出a2,a4的值,从而解出通项;(2)将第一问中求得的通项代入,用错位相减法求和.【解答】解:(1)方程x25x﹣+6=0的根为2,3.又{an}是递增的等差数列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,故an=2+(n2﹣)×=n+1,(2)设数列{}的前n项和为Sn,Sn=,①Sn=,②①﹣②得Sn==,解得Sn==2﹣.【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和,是近几年高考对数列解答题考查的主要方式. 18.(12分)从某企业生产的产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数62638228(1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?【考点】B8:频率分布直方图;BC:极差、方差与标准差.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】(1)根据频率分布直方图做法画出即可;(2)用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差,代入公式计算即可.(3)求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值,再和0.8比较即可.【解答】解:(1)频率分布直方图如图所示:(2)质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100,质量指标的样本的方差为S2=(﹣20)2×0.06+(﹣10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104,这种产品质量指标的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68,由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【点评】本题主要考查了频率分布直方图,样本平均数和方差,考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力. 19.(12分)如图,三棱柱ABCA﹣1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABCA﹣1B1C1的高.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LW:直线与平面垂直.菁优网版权所有【专题】15:综合题;5F:空间位置关系与距离.【分析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,证明B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AB;(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H,证明△CBB1为等边三角形,求出B1到平面ABC的距离,即可求三棱柱ABCA﹣1B1C1的高.【解答】(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,∵侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,∵AO⊥平面BB1C1C,∴AO⊥B1C,∵AO∩BC1=O,∴B1C⊥平面ABO,∵AB⊂平面ABO,∴B1C⊥AB;(2)解:作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H,∵BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD,∴OH⊥BC,∵OH⊥AD,BC∩AD=D,∴OH⊥平面ABC,∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为等边三角形,∵BC=1,∴OD=,∵AC⊥AB1,∴OA=B1C=,由OH•AD=OD•OA,可得AD==,∴OH=,∵O为B1C的中点,∴B1到平面ABC的距离为,∴三棱柱ABCA﹣1B1C1的高.【点评】本题考查线面垂直的判定与性质,考查点到平面距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y28y=0﹣,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.【考点】%H:三角形的面积公式;J3:轨迹方程.菁优网版权所有【专题】5B:直线与圆.【分析】(1)由圆C的方程求出圆心坐标和半径,设出M坐标,由与数量积等于0列式得M的轨迹方程;(2)设M的轨迹的圆心为N,由|OP|=|OM|得到ON⊥PM.求出ON所在直线的斜率,由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程,由点到直线的距离公式求出O到l的距离,再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度代入三角形面积公式得答案.【解答】解:(1)由圆C:x2+y28y=0﹣,得x2+(y4﹣)2=16,∴圆C的圆心坐标为(0,4),半径为4.设M(x,y),则,.由题意可得:.即x(2x﹣)+(y4﹣)(2y﹣)=0.整理得:(x1﹣)2+(y3﹣)2=2.∴M的轨迹方程是(x1﹣)2+(y3﹣)2=2.(2)由(1)知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆,由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.∵kON=3,∴直线l的斜率为﹣.∴直线PM的方程为,即x+3y8=0﹣.则O到直线l的距离为.又N到l的距离为,∴|PM|==.∴.【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法,训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题. 21.(12分)设函数f(x)=alnx+x2bx﹣(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有【专题】53:导数的综合应用.【分析】(1)利用导数的几何意义即可得出;(2)对a分类讨论:当a时,当a<1时,当a>1时,再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.【解答】解:(1)f′(x)=(x>0),∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,∴f′(1)=a+(1a﹣)×1b=0﹣,解得b=1.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)可知:f(x)=alnx+,∴=.①当a时,则,则当x>1时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(1,+∞)单调递增,∴存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件是,即,解得;②当a<1时,则,则当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)在上单调递减;当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)在上单调递增.∴存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件是,而=+,不符合题意,应舍去.③若a>1时,f(1)=,成立.综上可得:a的取值范围是.【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题. 请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。【选修4-1:几何证明选讲】22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.【考点】NB:弦切角;NC:与圆有关的比例线段.菁优网版权所有【专题】15:综合题;5M:推理和证明.【分析】(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由CB=CE,可得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E,即可证明△ADE为等边三角形.【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠D=∠CBE,∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E;(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,∴O在直线MN上,∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE,∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE为等边三角形.【点评】本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 【选修4-4:坐标系与参数方程】23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合;QH:参数方程化成普通方程.菁优网版权所有【专题】5S:坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x2﹣,代入②并整理得:2x+y6=0﹣;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=1﹣时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题. 【选修4-5:不等式选讲】24.若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【考点】RI:平均值不等式.菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥2,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.(Ⅱ)根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b>8,从而可得不存在a,b,使得2a+3b=6.【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,∴=+≥2,∴ab≥2,当且仅当a=b=时取等号.∵a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,∴a3+b3的最小值为4.(Ⅱ)∵2a+3b≥2=2,当且仅当2a=3b时,取等号.而由(1)可知,2≥2=4>6,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题. 

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