2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案

2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案1 2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案2 2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案3 2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案4 2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案5 2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案6 2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案7 2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案8 2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案9 2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案10
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2016年北京市高考(文科)数学试卷+参考答案文字介绍:2016年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一.选择题(共8小题)1.(2016•北京)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=(  )A.{x|2<x<5}B.{x|x<4或x>5}C.{x|2<x<3}D.{x|x<2或x>5}【考点】交集及其运算.【专题】计算题;转化思想;综合法;集合.【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B.【解答】解:∵集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},A∩B={x|2∴<x<3}.故选:C.【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集的定义的合理运用. 2.(2016•北京)复数=(  )A.iB.1+iC.﹣iD.1i﹣【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】计算题;转化思想;数系的扩充和复数.【分析】将分子分线同乘2+i,整理可得答案.【解答】解:===i,故选:A【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算,共轭复数的定义,难度不大,属于基础题. 3.(2016•北京)执行如图所示的程序框图,输出s的值为(  )A.8B.9C.27D.36【考点】程序框图.【专题】计算题;操作型;算法和程序框图.【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.【解答】解:当k=0时,满足进行循环的条件,故S=0,k=1,当k=1时,满足进行循环的条件,故S=1,k=2,当k=2时,满足进行循环的条件,故S=9,k=3,当k=3时,不满足进行循环的条件,故输出的S值为9,故选:B【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答. 4.(2016•北京)下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是(  )A.y=B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2x﹣【考点】函数单调性的判断与证明.【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】根据函数单调性的定义,余弦函数单调性,以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在(﹣1,1)上的单调性,从而找出正确选项.【解答】解:A.x增大时,﹣x减小,1x﹣减小,∴增大;∴函数在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误;B.y=cosx在(﹣1,1)上没有单调性,∴该选项错误;C.x增大时,x+1增大,ln(x+1)增大,∴y=ln(x+1)在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误;D.;∴根据指数函数单调性知,该函数在(﹣1,1)上为减函数,∴该选项正确.故选D.【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法,以及余弦函数和指数函数的单调性,指数式的运算. 5.(2016•北京)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为(  )A.1B.2C.D.2【考点】圆的标准方程;点到直线的距离公式.【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.【分析】先求出圆(x+1)2+y2=2的圆心,再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解.【解答】解:∵圆(x+1)2+y2=2的圆心为(﹣1,0),∴圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为:d==.故选:C.【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用. 6.(2016•北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(  )A.B.C.D.【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】概率与统计.【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人,先求出基本事件总数,再求出甲被选中包含的基本事件的个数,同此能求出甲被选中的概率.【解答】解:从甲、乙等5名学生中随机选出2人,基本事件总数n==10,甲被选中包含的基本事件的个数m==4,∴甲被选中的概率p===.故选:B.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用. 7.(2016•北京)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2xy﹣的最大值为(  )A.﹣1B.3C.7D.8【考点】简单线性规划.【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;不等式.【分析】平行直线z=2xy﹣,判断取得最值的位置,求解即可.【解答】解:如图A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,令z=2xy﹣,则平行y=2xz﹣当直线经过B时截距最小,Z取得最大值,可得2xy﹣的最大值为:2×41=7﹣.故选:C.【点评】本题考查线性规划的简单应用,判断目标函数经过的点,是解题的关键. 8.(2016•北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,表中为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位:次)63a7560637270a1﹣b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则(  )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛【考点】命题的真假判断与应用.【专题】探究型;简易逻辑;推理和证明.【分析】根据已知中这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,逐一分析四个答案的正误,可得结论.【解答】解:∵这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,故编号为1,2,3,4,5,6,7,8的学生进入立定跳远决赛,又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则3,6,7号同学必进入30秒跳绳决赛,剩下1,2,4,5,8号同学的成绩分别为:63,a,60,63,a1﹣有且只有3人进入30秒跳绳决赛,故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛,故选:B【点评】本题考查的知识点是推理与证明,正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程,是解答的关键. 二.填空题(共6小题)9.(2016•北京)已知向量=(1,),=(,1),则与夹角的大小为 .【考点】数量积表示两个向量的夹角.【专题】计算题;定义法;平面向量及应用.【分析】根据已知中向量的坐标,代入向量夹角公式,可得答案.【解答】解:∵向量=(1,),=(,1),∴与夹角θ满足:cosθ===,又∵θ∈[0,π],θ=∴,故答案为:.【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式,熟练掌握平面向量的夹角公式,是解答的关键. 10.(2016•北京)函数f(x)=(x≥2)的最大值为 2 .【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】分离常数便可得到,根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2,+∞)上为减函数,从而x=2时f(x)取最大值,并可求出该最大值.【解答】解:;f∴(x)在[2,+∞)上单调递减;x=2∴时,f(x)取最大值2.故答案为:2.【点评】考查函数最大值的概念及求法,分离常数法的运用,以及反比例函数的单调性,根据函数单调性求最值的方法. 11.(2016•北京)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为  .【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何.【分析】由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱,进而可得答案.【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱,棱柱的底面面积S=×(1+2)×1=,棱柱的高为1,故棱柱的体积V=,故答案为:【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键. 12.(2016•北京)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= 1 ,b= 2 .【考点】双曲线的标准方程.【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),列出方程组,由此能出a,b.【解答】解:∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),∴,解得a=1,b=2.故答案为:1,2.【点评】本题考查双曲线中实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线的性质的合理运用. 13.(2016•北京)在△ABC中,∠A=,a=c,则= 1 .【考点】正弦定理的应用.【专题】计算题;规律型;转化思想;解三角形.【分析】利用正弦定理求出C的大小,然后求出B,然后判断三角形的形状,求解比值即可.【解答】解:在△ABC中,∠A=,a=c,由正弦定理可得:,=,sinC=,C=,则B==.三角形是等腰三角形,B=C,则b=c,则=1.故答案为:1.【点评】本题考查正弦定理的应用,三角形的判断,考查计算能力. 14.(2016•北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种;②这三天售出的商品最少有 29 种.【考点】容斥原理;集合的包含关系判断及应用.【专题】计算题;转化思想;综合法;集合.【分析】①由题意画出图形得答案;②求出前两天所受商品的种数,由特殊情况得到三天售出的商品最少种数.【解答】解:①设第一天售出商品的种类集为A,第二天售出商品的种类集为B,第三天售出商品的种类集为C,如图,则第一天售出但第二天未售出的商品有16种;②由①知,前两天售出的商品种类为19+133=29﹣种,当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时,这三天售出的商品种类最少为29种.故答案为:①16;②29.【点评】本题考查集合的包含关系及其应用,考查了集合中元素的个数判断,考查学生的逻辑思维能力,是中档题. 三.解答题(共6小题)15.(2016•北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.【考点】等差数列与等比数列的综合.【专题】方程思想;分析法;等差数列与等比数列.【分析】(1)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,运用通项公式可得q=3,d=2,进而得到所求通项公式;(2)求得cn=an+bn=2n1+3﹣n1﹣,再由数列的求和方法:分组求和,运用等差数列和等比数列的求和公式,计算即可得到所求和.【解答】解:(1)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,由b2=3,b3=9,可得q==3,bn=b2qn2﹣=3•3n2﹣=3n1﹣;即有a1=b1=1,a14=b4=27,则d==2,则an=a1+(n1﹣)d=1+2(n1﹣)=2n1﹣;(2)cn=an+bn=2n1+3﹣n1﹣,则数列{cn}的前n项和为(1+3+…+(2n1﹣))+(1+3+9+…+3n1﹣)=n•2n+=n2+.【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,同时考查数列的求和方法:分组求和,考查运算能力,属于基础题. 16.(2016•北京)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.【考点】复合三角函数的单调性;三角函数的周期性及其求法.【专题】计算题;函数思想;数学模型法;三角函数的图像与性质.【分析】(1)利用倍角公式结合两角和的正弦化积,再由周期公式列式求得ω的值;(2)直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f(x)的单调递增区间.【解答】解:(1)f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==.由T=,得ω=1;(2)由(1)得,f(x)=.再由,得.f∴(x)的单调递增区间为[](k∈Z).【点评】本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,考查了两角和的正弦,属中档题. 17.(2016•北京)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直方图:(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.【考点】频率分布直方图;随机抽样和样本估计总体的实际应用.【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.【分析】(1)由频率分布直方图得:用水量在[0.5,1)的频率为0.1,用水量在[1,1.5)的频率为0.15,用水量在[1.5,2)的频率为0.2,用水量在[2,2.5)的频率为0.25,用水量在[2.5,3)的频率为0.15,用水量在[3,3.5)的频率为0.05,用水量在[3.5,4)的频率为0.05,用水量在[4,4.5)的频率为0.05,由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米,w至少定为3立方米.(2)当w=3时,利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费.【解答】解:(1)由频率分布直方图得:用水量在[0.5,1)的频率为0.1,用水量在[1,1.5)的频率为0.15,用水量在[1.5,2)的频率为0.2,用水量在[2,2.5)的频率为0.25,用水量在[2.5,3)的频率为0.15,用水量在[3,3.5)的频率为0.05,用水量在[3.5,4)的频率为0.05,用水量在[4,4.5)的频率为0.05,∵用水量小于等于3立方米的频率为85%,∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米,w∴至少定为3立方米.(2)当w=3时,该市居民的人均水费为:(0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5,∴当w=3时,估计该市居民该月的人均水费为10.5元.【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查当w=3时,该市居民该月的人均水费的估计的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意频率分布直方图的合理运用. 18.(2016•北京)如图,在四棱锥PABCD﹣中,PC⊥平面ABCD,ABDC∥,DCAC⊥.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.【专题】综合题;转化思想;综合法;立体几何.【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC;(2)利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC,即可证明平面PAB⊥平面PAC;(3)在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF.利用线面平行的判定定理证明.【解答】(1)证明:∵PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,PCDC∴⊥,DCAC∵⊥,PC∩AC=C,DC∴⊥平面PAC;(2)证明:∵ABDC∥,DCAC⊥,ABAC∴⊥,PC∵⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,PCAB∴⊥,PC∩AC=C∵,AB∴⊥平面PAC,AB∵⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAC;(3)解:在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF.∵点E为AB的中点,EFPA∴∥,PA∵⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,PA∴∥平面CEF.【点评】本题考查线面平行与垂直的证明,考查平面与平面垂直的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19.(2016•北京)已知椭圆C:+=1过点A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.【考点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系.【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)由题意可得a=2,b=1,则,则椭圆C的方程可求,离心率为e=;(2)设P(x0,y0),求出PA、PB所在直线方程,得到M,N的坐标,求得|AN|,|BM|.由,结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2.【解答】(1)解:∵椭圆C:+=1过点A(2,0),B(0,1)两点,a=2∴,b=1,则,∴椭圆C的方程为,离心率为e=;(2)证明:如图,设P(x0,y0),则,PA所在直线方程为y=,取x=0,得;,PB所在直线方程为,取y=0,得.|AN|=∴,|BM|=1﹣.∴==﹣===.∴四边形ABNM的面积为定值2.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,考查计算能力与推理论证能力,是中档题. 20.(2016•北京)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;(3)求证:a23b﹣>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理.【专题】方程思想;分析法;函数的性质及应用;导数的概念及应用.【分析】(1)求出f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,进而得到所求切线的方程;(2)由f(x)=0,可得﹣c=x3+4x2+4x,由g(x)=x3+4x2+4x,求得导数,单调区间和极值,由﹣c介于极值之间,解不等式即可得到所求范围;(3)先证若f(x)有三个不同零点,令f(x)=0,可得单调区间有3个,求出导数,由导数的图象与x轴有两个不同的交点,运用判别式大于0,可得a23b﹣>0;再由a=b=4,c=0,可得若a23b﹣>0,不能推出f(x)有3个零点.【解答】解:(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的导数为f′(x)=3x2+2ax+b,可得y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=f′(0)=b,切点为(0,c),可得切线的方程为y=bx+c;(2)设a=b=4,即有f(x)=x3+4x2+4x+c,由f(x)=0,可得﹣c=x3+4x2+4x,由g(x)=x3+4x2+4x的导数g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2),当x>﹣或x<﹣2时,g′(x)>0,g(x)递增;当﹣2<x<﹣时,g′(x)<0,g(x)递减.即有g(x)在x=2﹣处取得极大值,且为0;g(x)在x=﹣处取得极小值,且为﹣.由函数f(x)有三个不同零点,可得﹣<﹣c<0,解得0<c<,则c的取值范围是(0,);(3)证明:若f(x)有三个不同零点,令f(x)=0,可得f(x)的图象与x轴有三个不同的交点.即有f(x)有3个单调区间,即为导数f′(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点,可得△>0,即4a212b﹣>0,即为a23b﹣>0;若a23b﹣>0,即有导数f′(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点,当c=0,a=b=4时,满足a23b﹣>0,即有f(x)=x(x+2)2,图象与x轴交于(0,0),(﹣2,0),则f(x)的零点为2个.故a23b﹣>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.【点评】不同考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值,考查函数的零点的判断,注意运用导数求得极值,考查化简整理的圆能力,属于中档题. 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