2008年北京高考(理科)数学试题试卷+参考答案

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2008年北京高考(理科)数学试题试卷+参考答案文字介绍:2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共40分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试卷上.一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集,集合,,那么集合等于()A.B.C.D.2.若,,,则()A.B.C.D.3.“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若点到直线的距离比它到点的距离小1,则点的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.若实数满足则的最小值是()A.0B.1C.D.96.已知数列对任意的满足,且,那么等于()A.B.C.D.7.过直线上的一点作圆的两条切线,当直线关于对称时,它们之间的夹角为()A.B.C.D.8.如图,动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于.设,,则函数的图象大致是()BCDMNPB1C1D12008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)第Ⅱ卷(共110分)注意事项:1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9.已知,其中是虚数单位,那么实数.10.已知向量与的夹角为,且,那么的值为.11.若展开式的各项系数之和为32,则,其展开式中的常数项为.(用数字作答)12.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为AA1yxA.OyxB.OyxC.OyxD.O2BCAyx1O34561234,则;.(用数字作答)13.已知函数,对于上的任意,有如下条件:①;②;③.其中能使恒成立的条件序号是.14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,,当时,表示非负实数的整数部分,例如,.按此方案,第6棵树种植点的坐标应为;第2008棵树种植点的坐标应为.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)已知函数()的最小正周期为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.16.(本小题共14分)如图,在三棱锥中,,,,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离.ACBP17.(本小题共13分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(Ⅲ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数,求的分布列.18.(本小题共13分)已知函数,求导函数,并确定的单调区间.19.(本小题共14分)已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.(Ⅰ)当直线过点时,求直线的方程;(Ⅱ)当时,求菱形面积的最大值.20.(本小题共13分)对于每项均是正整数的数列,定义变换,将数列变换成数列.对于每项均是非负整数的数列,定义变换,将数列各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列;又定义.设是每项均为正整数的有穷数列,令.(Ⅰ)如果数列为5,3,2,写出数列;(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列,证明;(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列,存在正整数,当时,.2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.D2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.B二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.10.11.51012.13.②14.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(共13分)解:(Ⅰ).因为函数的最小正周期为,且,所以,解得.(Ⅱ)由(Ⅰ)得.因为,所以,所以,因此,即的取值范围为.16.(共14分)解法一:(Ⅰ)取中点,连结.,.,.,平面.平面,.(Ⅱ),,.又,.又,即,且,平面.取中点.连结.,.是在平面内的射影,.是二面角的平面角.在中,,,,.二面角的大小为.(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,平面平面.过作,垂足为.平面平面,平面.的长即为点到平面的距离.由(Ⅰ)知,又,且,平面.平面,.在中,,,ACBDPACBEPACBDPH..点到平面的距离为.解法二:(Ⅰ),,.又,.,平面.平面,.(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.则.设.,,.取中点,连结.,,,.是二面角的平面角.,,,.二面角的大小为.(Ⅲ),在平面内的射影为正的中心,且的长为点到平面的距离.如(Ⅱ)建立空间直角坐标系.ACBPzxyHE,点的坐标为..点到平面的距离为.17.(共13分)解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.(Ⅲ)随机变量可能取的值为1,2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务,则.所以,的分布列是1318.(共13分)解:.令,得.当,即时,的变化情况如下表:0当,即时,的变化情况如下表:0所以,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.当,即时,,所以函数在上单调递减,在上单调递减.19.(共14分)解:(Ⅰ)由题意得直线的方程为.因为四边形为菱形,所以.于是可设直线的方程为.由得.因为在椭圆上,所以,解得.设两点坐标分别为,则,,,.所以.所以的中点坐标为.由四边形为菱形可知,点在直线上,所以,解得.所以直线的方程为,即.(Ⅱ)因为四边形为菱形,且,所以.所以菱形的面积.由(Ⅰ)可得,所以.所以当时,菱形的面积取得最大值.20.(共13分)(Ⅰ)解:,,;,.(Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列为,则为,,,,,从而.又,所以,故.(Ⅲ)证明:设是每项均为非负整数的数列.当存在,使得时,交换数列的第项与第项得到数列,则.当存在,使得时,若记数列为,则.所以.从而对于任意给定的数列,由可知.又由(Ⅱ)可知,所以.即对于,要么有,要么有.因为是大于2的整数,所以经过有限步后,必有.即存在正整数,当时,.

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