2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析

2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析1 2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析2 2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析3 2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析4 2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析5 2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析6 2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析7 2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析8 2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析9 2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析10
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2009年北京高考(理科)数学试卷+答案解析文字介绍:2009年北京市普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题共40分)注意事项:1.答第I卷前,考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写,用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。2.每小题选出答案后,将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑,黑度以盖住框内字母为准,修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.在复平面内,复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量不共线,如果,那么A.且与同向B.且与反向C.且与同向D.且与反向3.为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度4.若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60°角,则到底面的距离为A.B.1C.D.5.“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.若为有理数),则A.45B.55C.70D.807.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为A.324B.328C.360D.6488.点在直线上,若存在过的直线交抛物线于两点,且,则称点为“点”,那么下列结论中正确的是A.直线上的所有点都是“点”B.直线上仅有有限个点是“点”C.直线上的所有点都不是“点”D.直线上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”第Ⅱ卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。9.___________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m10.若实数满足则的最小值为__________。11.设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在点处的切线的斜率为______________。12.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则_________;的小大为____________。13.若函数则不等式的解集为____________。14.已知数列满足:则________;=____________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.(本小题共13分)在中,角的对边分别为,。(I)求的值;(Ⅱ)求的面积。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m16.(本小题共14分)如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且(I)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由。17.(本小题共13分)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min。(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。18.(本小题共13分)设函数(I)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m19.(本小题共14分)已知双曲线的离心率为,右准线方程为(I)求双曲线的方程;(Ⅱ)设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于不同的两点,证明的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m20.(本小题共13分)已知数集具有性质;对任意的,与两数中至少有一个属于。(I)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;(Ⅱ)证明:,且(Ⅲ)证明:当时,成等比数列。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1.B2.D3.C4.D5.A6.C7.B8.A9.10.11.12.13.14.1,0三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且,∴,∴.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又∵,∴在△ABC中,由正弦定理,得∴.∴△ABC的面积.16.(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,∴,∴在Rt△ABC中,,∴.∴在Rt△ADE中,,∴与平面所成的角的大小为.(Ⅲ)∵DE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP为二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,故存在点E使得二面角是直二面角.17(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为.(Ⅱ)由题意可得,可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min).事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2,3,4),∴,∴即的分布列是02468∴的期望是.18.(Ⅰ),曲线在点处的切线方程为(Ⅱ)由,得,若,则当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,若,则当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若,则当且仅当,即时,函数在内单调递增;若,则当且仅当,即时,函数在内单调递增,综上可知,函数在区间内单调递增时,的取值范围是.19.(Ⅰ)由题意,得,解得,∴,∴所求双曲线的方程为.(Ⅱ)点在圆上,圆在点处的切线方程为,化简得由及得,∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,∴,且,设A、B两点的坐标分别为,则,∵,且,.∴的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m20.(Ⅰ)由于与均不属于数集,∴该数集不具有性质P.由于都属于数集,∴该数集具有性质P.(Ⅱ)∵具有性质P,∴与中至少有一个属于A,由于,∴,故.从而,∴∵,∴,故.由A具有性质P可知.又∵,∴,从而,∴.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有,即,∵,∴,∴,由A具有性质P可知.由,得,且,∴,∴,即是首项为1,公比为成等比数列.解析一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.∵,∴复数所对应的点为,故选B.2.已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么()A.且c与d同向B.且c与d反向C.且c与d同向D.且c与d反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.取a,b,若,则cab,dab,显然,a与b不平行,排除A、B.若,则cab,dab,即cd且c与d反向,排除C,故选D.3.为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点()A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.A.,B.,C.,D..故应选C.4.若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60°角,则到底面的距离为()A.B.1C.D.【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.(第4题解答图)属于基础知识、基本运算的考查.依题意,,如图,,故选D.5.“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.当时,,反之,当时,有,或,故应选A.6.若为有理数),则()A.45B.55C.70D.80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.∵,由已知,得,∴.故选C.7.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.328C.360D.648【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在末位时,有(个),当0不排在末位时,有(个),于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有(个).故选B.8.点在直线上,若存在过的直线交抛物线于两点,且,则称点为“点”,那么下列结论中正确的是()A.直线上的所有点都是“点”B.直线上仅有有限个点是“点”C.直线上的所有点都不是“点”D.直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解,如图,设,则,∵,∴消去n,整理得关于x的方程(1)∵恒成立,∴方程(1)恒有实数解,∴应选A.2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)第Ⅱ卷(共110分)注意事项:1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分151617181920分数二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。9._________.W【答案】【解析】本题主要考极限的基本运算,其中重点考查如何约去“零因子”.属于基础知识、基本运算的考查.,故应填.10.若实数满足则的最小值为__________.【答案】【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知.属于基础知识、基本运算的考查.如图,当时,为最小值.故应填.11.设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_________.【答案】【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念.属于基础知识、基本运算的考查.取,如图,采用数形结合法,易得该曲线在处的切线的斜率为.故应填.12.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则_________;的小大为__________.【答案】【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查.∵,∴,∴,又,∴,又由余弦定理,得,∴,故应填.13.若函数则不等式的解集为____________.【答案】【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.(1)由.(2)由.∴不等式的解集为,∴应填.14.已知数列满足:则________;=_________.【答案】1,0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意,得,.∴应填1,0.三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.(本小题共13分)在中,角的对边分别为,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识,主要考查基本运算能力.(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且,∴,∴.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又∵,∴在△ABC中,由正弦定理,得∴.∴△ABC的面积.16.(本小题共14分)如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,∴,∴在Rt△ABC中,,∴.∴在Rt△ADE中,,∴与平面所成的角的大小为.(Ⅲ)∵DE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP为二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,设,由已知可得.(Ⅰ)∵,∴,∴BC⊥AP.又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,∴,∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,∵,∴.∴与平面所成的角的大小为.(Ⅲ)同解法1.17.(本小题共13分)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为.(Ⅱ)由题意可得,可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min).事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2,3,4),∴,∴即的分布列是02468∴的期望是.18.(本小题共13分)设函数(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.(Ⅰ),曲线在点处的切线方程为(Ⅱ)由,得,若,则当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,若,则当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若,则当且仅当,即时,函数在内单调递增;若,则当且仅当,即时,函数在内单调递增,综上可知,函数在区间内单调递增时,的取值范围是.19.(本小题共14分)已知双曲线的离心率为,右准线方程为(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于不同的两点,证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.(Ⅰ)由题意,得,解得,∴,∴所求双曲线的方程为.(Ⅱ)点在圆上,圆在点处的切线方程为,化简得由及得,∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,∴,且,设A、B两点的坐标分别为,则,∵,且,.∴的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m【解法2】(Ⅰ)同解法1(Ⅱ)点在圆上,圆在点处的切线方程为,化简得.由及得①②∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,∴,设A、B两点的坐标分别为,则,∴,∴的大小为.(∵且,∴,从而当时,方程①和方程②的判别式均大于零).20.(本小题共13分)已知数集具有性质:对任意的,与两数中至少有一个属于.(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;(Ⅱ)证明:,且;(Ⅲ)证明:当时,成等比数列..k.s.5.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.(Ⅰ)由于与均不属于数集,∴该数集不具有性质P.由于都属于数集,∴该数集具有性质P.(Ⅱ)∵具有性质P,∴与中至少有一个属于A,由于,∴,故.从而,∴∵,∴,故.由A具有性质P可知.又∵,∴,从而,∴.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有,即,∵,∴,∴,由A具有性质P可知.由,得,且,∴,∴,即是首项为1,公比为成等比数列.

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