2017年高考理科数学三轮冲刺热点题型中档大题规范练习中档大题规范练1 三角函数

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2017年高考理科数学三轮冲刺热点题型中档大题规范练习中档大题规范练1 三角函数文字介绍:中档大题规范练中档大题规范练1　三角函数1.(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小.(1)证明　由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解　由S＝得absinC＝，故有sinBsinC＝sinA＝sin2B＝sinBcosB，由sinB≠0，得sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.综上，A＝或A＝.2.(2016·北京)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间.解　(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝＝sin，由ω＞0，f(x)的最小正周期为π，得＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).3.已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的最大值及取得最大值时x的集合.解　(1)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).(2)由已知，得g(x)＝sin(x＋)，∴当sin(x＋)＝1，即x＋＝2kπ＋(k∈Z)，也即x＝2kπ＋(k∈Z)时，g(x)max＝.∴当{x|x＝2kπ＋(k∈Z)}时，g(x)的最大值为.4.(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.(1)证明　根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.(2)解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cosA＝＝.所以sinA＝＝.由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB.故tanB＝＝4.5.已知向量m＝(sinx，cosx)，n＝(cosx，cosx)，x∈R，设f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a＝1，b＋c＝2，f(A)＝1，求△ABC的面积.解　(1)f(x)＝m·n＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin(2x＋)＋，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，可得，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.(2)∵f(A)＝1，∴sin(2A＋)＝，∵0

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