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2017年高考数学答题技巧规范篇第1篇快速解答选择、填空题第1讲六招求解选择题

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2017年高考数学答题技巧规范篇第1篇快速解答选择、填空题第1讲六招求解选择题文字介绍:第1讲　六招求解选择题[题型分析·高考展望]　选择题是高考试题的三大题型之一，其特点是：难度中低，小巧灵活，知识覆盖面广，解题只要结果不看过程.解选择题的基本策略是：充分利用题干和选项信息，先定性后定量，先特殊再一般，先排除后求解避免“小题大做”.解答选择题主要有直接法和间接法两大类.直接法是最基本、最常用的方法，但为了提高解题的速度，我们还要研究解答选择题的间接法和解题技巧.高考必会题型方法一　直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1　设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若FA＝2AB，则双曲线的离心率为(　　)A.6B.4C.3D.2答案　D解析　设点F(c，0)，B(0，b)，由FA＝2AB，得OA－OF＝2(OB－OA)，即OA＝(OF＋2OB)，所以点A(，)，因为点A在渐近线y＝x上，则＝·，即e＝2.点评　直接法是解答选择题最常用的基本方法，直接法适用的范围很广，一般来说，涉及概念、性质的辨析或运算比较简单的题多采用直接法，只要运算正确必能得出正确的答案.提高用直接法解选择题的能力，准确地把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，在稳的前提下求快，一味求快则会快中出错.变式训练1　函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)A.2，－B.2，－C.4，－D.4，答案　A解析　由图可知，＝－，即T＝π，所以由T＝可得，ω＝2，所以函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，又因为函数图象过点(，2)，所以2＝2sin(2×＋φ)，即2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又因为－<φ<，所以φ＝－.方法二　特例法特例法是从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.例2　(1)已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A＝60°，·AB＋·AC＝2m·AO，则m的值为(　　)A.B.C.1D.(2)已知函数f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)A.(1，10)B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)答案　(1)A　(2)C解析　(1)如图，当△ABC为正三角形时，A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点，AO＝AD，则有AB＋AC＝2m·AO，∴(AB＋AC)＝2m×AD，∴·2AD＝mAD，∴m＝，故选A.(2)不妨设00，n＝1，2，3，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于(　　)A.n(2n－1)B.(n＋1)2C.n2D.(n－1)2(2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(　　)A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.∶1答案　(1)C　(2)B解析　(1)因为a5·a2n－5＝22n(n≥3)，所以令n＝3，代入得a5·a1＝26，再令数列为常数列，得每一项为8，则log2a1＋log2a3＋log2a5＝9＝32.结合选项可知只有C符合要求.(2)将P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有＝＝，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.方法三　排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案.例3　(1)函数f(x)＝2|x|－x2的图象为(　　)(2)函数f(x)＝(0≤x≤2π)的值域是(　　)A.B.[－1，0]C.[－，－1]D.答案　(1)D　(2)B解析　(1)由f(－x)＝f(x)知函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项A、C；当x＝0时，f(x)＝1，排除选项B，故选D.(2)令sinx＝0，cosx＝1，则f(x)＝＝－1，排除A，D；令sinx＝1，cosx＝0，则f(x)＝＝0，排除C，故选B.点评　排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.变式训练3　(1)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　)A.[－1，2]B.[－1，0]C.[1，2]D.[0，2](2)(2015·浙江)函数f(x)＝cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)答案　(1)D　(2)D解析　(1)若a＝－1，则f(x)＝易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；若a＝0，则f(x)＝易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C.故D正确.(2)∵f(x)＝(x－)cosx，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x＝π时，f(x)＜0，排除C.故选D.方法四　数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论.例4　(1)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为()A.60°B.90°C.120°D.150°(2)定义在R上的奇函数f(x)和定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x)分别满足f(x)＝g(x)＝log2x(x>0)，若存在实数a，使得f(a)＝g(b)成立，则实数b的取值范围是(　　)A.[－2，2]B.[－，0)∪(0，]C.[－2，－]∪[，2]D.(－∞，－2]∪[－2，＋∞)答案　(1)B　(2)C解析　(1)如图，因为〈a，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC与CO的夹角为90°，即a与c的夹角为90°.(2)分别画出函数f(x)和g(x)的图象，存在实数a，使得f(a)＝g(b)成立，则实数b一定在函数g(x)使得两个函数的函数值重合的区间内，故实数b的取值范围是[－2，－]∪[，2].点评　图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.变式训练4　(1)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C2，C1上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)A.5－4B.－1C.6－2D.(2)已知函数f(x)＝与g(x)＝x3＋t，若f(x)与g(x)的交点在直线y＝x的两侧，则实数t的取值范围是(　　)A.(－6，0]B.(－6，6)C.(4，＋∞)D.(－4，4)答案　(1)A　(2)B解析　(1)作圆C1关于x轴的对称圆C1′：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|，由图可知当点C2、M、P、N′、C1′在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|取得最小值，即为|C1′C2|－1－3＝5－4.(2)根据题意可得函数图象，g(x)在点A(2，2)处的取值大于2，在点B(－2，－2)处的取值小于－2，可得g(2)＝23＋t＝8＋t>2，g(－2)＝(－2)3＋t＝－8＋t<－2，解得t∈(－6，6)，故选B.方法五　正难则反法在解选择题时，有时从正面求解比较困难，可以转化为其反面的问题来解决，即将问题转化为其对立事件来解决，实际上就是补集思想的应用.例5　(1)设集合A＝{x|a－14}C.{a|a≤0或a≥6}D.{a|2≤a≤4}(2)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，若在[－1，1]上存在x使得f(x)>0，则实数p的取值范围是(　　)A.[－，－]∪[1，3]B.[1，3]C.[－，3]D.(－3，)答案　(1)A　(2)D解析　(1)当A∩B＝∅时，由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6，故当A∩B≠∅时，00，即当x∈[－1，1]时，f(x)≤0恒成立，则即解得即p∈(－∞，－3]∪[，＋∞)，其补集是(－3，).点评　应用正难则反法解题的关键在于准确转化，适合于正面求解非常复杂或者无法判断的问题.变式训练5　若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是(　　)A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.(1，＋∞)D.(－∞，1)答案　B解析　y′＝(ex＋mx)′＝ex＋m，函数y＝ex＋mx没有极值的充要条件是函数在R上为单调函数，即y′＝ex＋m≥0(或≤0)恒成立，而ex≥0，故当m≥0时，函数y＝ex＋mx在R上为单调递增函数，不存在极值，所以函数存在极值的条件是m<0.方法六　估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程.因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义.估算法往往可以减少运算量，但是提升了思维的层次.例6　(1)已知x1是方程x＋lgx＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根，则x1＋x2等于(　　)A.6B.3C.2D.1(2)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　　)A.B.5C.6D.答案　(1)B　(2)D解析　(1)因为x1是方程x＋lgx＝3的根，所以2a＝log23>1，b＝2>2，c＝3<1，所以c1.所以D正确.高考题型精练1.已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁RP)∩Q等于(　　)A.[0，1)B.(0，2]C.(1，2)D.[1，2]答案　C解析　∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，∴(∁RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.2.(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A.y＝sinB.y＝cosC.y＝sin2x＋cos2xD.y＝sinx＋cosx答案　B解析　A项，y＝sin＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B项，y＝cos＝－sin2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C项，y＝sin2x＋cos2x＝sin，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D项，y＝sinx＋cosx＝sin，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意.3.已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　B解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为(0，6)，所以双曲线的焦点坐标为(0，6)和(0，－6)，所以双曲线中c＝6，又因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，所以＝，所以＝，又a2＋b2＝36，得a2＝9，b2＝27.故选B.4.图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是(　　)答案　B解析　由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.5.已知实数x，y满足约束条件则z＝的取值范围是(　　)A.[－1，]B.[－，]C.[－，＋∞)D.[－，1)答案　B解析　如图，z＝表示可行域内的动点P(x，y)与定点A(－1，1)连线的斜率.6.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于(　　)A.ex＋1B.ex－1C.e－x＋1D.e－x－1答案　D解析　依题意，f(x)向右平移一个单位长度之后得到的函数是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移一个单位的结果，所以f(x)＝e－x－1.7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(　　)A.1B.C.D.答案　C解析　由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为，面积范围应为[1，]，不可能等于.8.给出下面的程序框图，若输入的x的值为－5，则输出的y值是(　　)A.－2B.－1C.0D.1答案　C解析　由程序框图得：若输入的x的值为－5，()－5＝25＝32>2，程序继续运行x＝－3，()－3＝23＝8>2，程序继续运行x＝－1，()－1＝2，不满足()x>2，∴执行y＝log2x2＝log21＝0，故选C.9.(2015·山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)A.B.[0，1]C.D.[1，＋∞)答案　C解析　由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥，故选C.10.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＜0，且S2015＝0，则当Sn取得最小值时，n的取值为(　　)A.1009B.1008C.1007或1008D.1008或1009答案　C解析　等差数列中，Sn的表达式为n的二次函数，且常数项为0，故函数Sn的图象过原点，又a1＜0，且存在n＝2015使得Sn＝0，可知公差d＞0，Sn图象开口向上，对称轴n＝，于是当n＝1007或n＝1008时，Sn取得最小值，选C.11.已知四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为(　　)A.7πB.8πC.9πD.10π答案　C解析　依题意，记题中的球的半径是R，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2，1，2，于是有(2R)2＝12＋22＋22＝9，4πR2＝9π，所以球O的表面积为9π.12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200OC，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于(　　)A.100B.101C.200D.201答案　A解析　因为A，B，C三点共线，所以a1＋a200＝1，S200＝×200＝100.13.若(－)n的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为(　　)A.6B.10C.12D.15答案　C解析　∵Tk＋1＝C()n－k(－)k＝C(－1)k2k，∴T5＝C·24·.令n－12＝0，∴n＝12.14.在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　)A.(－2，1)B.(1，2)C.(2，1)D.(－1，2)答案　B解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号.∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D，故选B.15.已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　　)A.[2－，2＋]B.(2－，2＋)C.[1，3]D.(1，3)答案　B解析　∵f(a)>－1，∴g(b)>－1，∴－b2＋4b－3>－1，∴b2－4b＋2<0，∴2－1，解得x<－1或x>1，即不等式f(x2)<＋的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).18.已知函数f(x)＝若函数F(x)＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是(　　)A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.(2，8)C.(2，]D.(0，8)答案　C解析　函数f(x)的图象如图所示：要使方程f2(x)－bf(x)＋1＝0有8个不同实数根，令f(x)＝t，意味着00(或g()<0)，0<<4(或t1＋t2＝b∈(0，8))，因为g(0)＝1>0(不论t如何变化都有图象恒过定点(0，1))，所以只需g(4)≥0，求得b≤，综上可得b∈(2，].

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