2017年高考数学技巧规范篇 第2篇《看细则、用模板、解题再规范》

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2017年高考数学技巧规范篇 第2篇《看细则、用模板、解题再规范》文字介绍:[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型,通常是高考的把关题和压轴题,具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.要求考生具有一定的创新意识和创新能力.解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.[模板和细则] “答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型,分析解题的一般思路,规划解题的程序和格式,拟定解题的最佳方案,实现答题效率的最优化;评分细则是阅卷的依据,通过认真研读评分细则,重视解题步骤的书写,规范解题过程,做到会做的题得全分;对于最后的压轴题也可以按步得分,踩点得分,一分也要抢.模板1 三角函数与解三角形例1 (12分)已知函数f(x)=cosx·sin(x-).(1)当x∈[0,]时,求函数f(x)的值域;(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=,a=且sinB=2sinC,求△ABC的面积.规范解答·评分标准构建答题模板解 (1)由题意,得f(x)=cosx(sinxcos-cosxsin)=sinxcosx-cos2x=sin2x-·=(sin2x-cos2x)-=sin(2x-)-.3分∵x∈[0,],∴2x-∈[-,π],∴sin(2x-)∈[-,1],∴f(x)∈[-,],∴f(x)的值域为[-,].6分(2)由f(A)=,得sin(2A-)-=,即sin(2A-)=1,∴2A-=+2kπ,k∈Z,即A=kπ+,k∈Z,又00,∴q=2.又∵a41=4,∴a4n=a41qn-1=4×2n-1=2n+1.6分(2)∵bn=+(-1)n·an1=+(-1)n·n7分=+(-1)n·n=-+(-1)n·n,∴Sn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)+[-1+2-3+4-5+…+(-1)n·n].10分当n为偶数时,Sn=1-+;11分当n为奇数时,Sn=Sn-1+bn=1+--n=1--=-(n≥3且n为奇数).[第一步]找关系:根据已知条件确定数列的项之间的关系.[第二步]求通项:根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项公式.[第三步]定方法:根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂经验证,当n=1时,也满足Sn=-.综上,数列{bn}的前n项和Sn=12分项相消法、错位相减法、分组法等).[第四步]写步骤.[第五步]再反思:检查求和过程中各项的符号有无错误,用特殊项估算结果.评分细则 (1)求出d给1分,求an1时写出公式,结果错误给1分;求q时没写q>0扣1分;(2)bn写出正确结果给1分,正确进行裂项再给1分;(3)缺少对bn的变形直接计算Sn,只要结论正确不扣分;(4)当n为奇数时求Sn中间过程缺一步不扣分.变式训练5 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a=S2n-1,n∈N*,数列{bn}满足bn=,n∈N*,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,不等式λTn0”和“Δ≥0”者,每处扣1分;(4)第(2)问中,联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分;根与系数的关系写出后再给1分;(5)第(2)问求最值时,不指明最值取得的条件扣1分.变式训练6 已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点(,).(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.解 (1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0),则=(其中c2=a2-b2,c>0),且+=1,故a=2,b=1.所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l:y=kx+m(k≠0且m≠0),设P(x1,y1)、Q(x2,y2),由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,且x1+x2=-,x1x2=,故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列,所以·==k2,即-+m2=0.又m≠0,所以k2=,即k=±.由于直线OP、OQ的斜率存在,且Δ>0,得00)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,①证明直线AE过定点,并求出定点坐标;②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.规范解答·评分标准构建答题模板解 (1)由题意知F(,0).设D(t,0)(t>0),则FD的中点为(,0).因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).1分由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.2分(2)①由(1)知F(1,0).设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0).因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0),[第一步]引参数:从目标对应的关系式出发,引进相关参数.一般地,引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直故直线AB的斜率kAB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意Δ=+=0,得b=-.4分设E(xE,yE),则yE=-,xE=.当y≠4时,kAE===,可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0).由y=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当y=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).7分②由①知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.8分设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=.设B(x1,y1).直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0,所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4.所以点B到直线AE的距离为线的截距等.[第二步]列关系:根据题设条件,表达出对应的动态直线或曲线方程.[第三步]探定点:若是动态的直线方程,将动态的直线方程转化成y-y0=k(x-x0)的形式,则k∈R时直线恒过定点(x0,y0);若是动态的曲线方程,将动态的曲线方程转化成f(x,y)+λg(x,y)=0d===4.10分则△ABE的面积S=×4≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.12分的形式,则λ∈R时曲线恒过的定点即是f(x,y)=0与g(x,y)=0的交点.[第四步]下结论.[第五步]再反思:在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时,引进参数的目的是以这个参数为中介,通过证明目标关系式与参数无关,达到解决问题的目的.评分细则第(1)问得分点①求出t的值,得1分,列出关于t的方程,求解结果错误只得1分;②得出抛物线方程得1分.第(2)问得分点①写出直线l1在y轴上的截距得2分;②得出直线AE过定点得3分,只考虑当y≠4,且得出此时直线AE过定点,只能得2分,只考虑当y=4,且得出此时直线AE过定点,只能得1分;③求出|AE|的长,且结论正确给1分,只给出弦长值而没有过程,不得分;④正确得出B到直线AE的距离得2分;只写对结果,但没有过程只能得1分;⑤求出面积的最小值得2分,没有指出等号成立的条件扣1分.变式训练7 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+12=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设A(-4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别交直线x=于M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,试问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.解 (1)由题意得∴故椭圆C的方程为+=1.(2)设直线PQ的方程为x=my+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(3m2+4)y2+18my-21=0,∴y1+y2=,y1y2=,由A,P,M三点共线可知=,其中yM为点M的纵坐标,∴yM=,同理可得yN=,∴k1k2=×==,∵(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,∴k1k2==-,为定值.模板8 函数的单调性、极值与最值例8 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.规范解答·评分标准构建答题模板解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.6分(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)无最大值;当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0.9[第一步]求导数:写出函数的定义域,求函数的导数.[第二步]定符号:通过讨论确定f′(x)的符号.[第三步]写区间:利用f′(x)分令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).12分的符号写出函数的单调区间.[第四步]求最值:根据函数单调性求出函数最值.评分细则 (1)函数求导正确即给1分;(2)分类讨论,每种情况给2分,结论1分;(3)求出最大值给2分;(4)构造函数g(a)=lna+a-1给2分;(5)通过分类讨论得出a的范围给2分.变式训练8 已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0.(1)求a的取值范围;(2)设g(x)=f(x)-f′(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.解 (1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex,依题意对任意x∈(0,1),有f′(x)<0.当a>0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f′(0)=-a<0,所以有f′(1)=(a-1)e<0,即00,f(x)不符合条件.故a的取值范围为0≤a≤1.(2)g(x)=(-2ax+1+a)ex,g′(x)=(-2ax+1-a)ex.①当a=0时,g′(x)=ex>0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值g(1)=e.②当a=1时,对于任意x∈(0,1),有g′(x)=-2xex<0,g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2,在x=1处取得最小值g(1)=0.③当00.a.若≥1,即0<a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a,在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e.b.若<1,即0,且对于任意x>0,f(x)≥f(1),试比较lna与-2b的大小.解 (1)∵b=2-a,∴f′(x)=2ax+(2-a)-=(x>0).①若a≥0,则f(x)在(0,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数,又f()=1-+ln2,∴当0≤a<4(1+ln2)时,函数f(x)没有零点;当a=4(1+ln2)时,函数f(x)有一个零点;当a>4(1+ln2)时,函数f(x)有两个零点.②若a<0,当-20,∴函数f(x)只有一个零点.当a=-2时,f(x)在(0,+∞)上递减,f(x)有一个零点.当a<-2时,f(x)在(0,-)上递减,在(-,)上递增,在(,+∞)上递减,f(x)只有一个零点.综上,0≤a<4(1+ln2)时无零点;a<0或a=4(1+ln2)时有一个零点;a>4(1+ln2)时有两个零点.(2)由a>0,且对于任意x>0,f(x)≥f(1),则函数f(x)在x=1处取得最小值,由f′(x)=2ax+b-=0得是f(x)的唯一的极小值点,故=1,整理得2a+b=1即b=1-2a.令g(x)=2-4x+lnx,则g′(x)=,令g′(x)=0得x=.当00,g(x)单调递增;当x>时,g′(x)<0,g(x)单调递减.因此g(x)≤g()=1+ln=1-ln4<0,故g(a)<0,即2-4a+lna=2b+lna<0,即lna<-2b.

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