2017年高考数学考前回扣教材4《数列》

2017年高考数学考前回扣教材4《数列》1 2017年高考数学考前回扣教材4《数列》2 2017年高考数学考前回扣教材4《数列》3 2017年高考数学考前回扣教材4《数列》4 2017年高考数学考前回扣教材4《数列》5 2017年高考数学考前回扣教材4《数列》6 2017年高考数学考前回扣教材4《数列》7 2017年高考数学考前回扣教材4《数列》8 2017年高考数学考前回扣教材4《数列》9 2017年高考数学考前回扣教材4《数列》10
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2017年高考数学考前回扣教材4《数列》文字介绍:回扣4 数 列1.牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1(q≠0)前n项和Sn==na1+d(1)q≠1,Sn==(2)q=1,Sn=na12.活用定理与结论(1)等差、等比数列{an}的常用性质等差数列等比数列性质①若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq②an=am+(n-m)d③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差数列①若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq②an=amqn-m③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比数列(Sn≠0)(2)判断等差数列的常用方法①定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列.②通项公式法:an=pn+q(p,q为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列.③中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.④前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列.(3)判断等比数列的三种常用方法①定义法:=q(q是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.②通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.③中项公式法:a=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.3.数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和,直接利用公式求和.(2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列,利用错位相减法求和.(3)通项公式形如an=(其中a,b1,b2,c为常数)用裂项相消法求和.(4)通项公式形如an=(-1)n·n或an=a·(-1)n(其中a为常数,n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.(6)并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求Sn.1.已知数列的前n项和求an,易忽视n=1的情形,直接用Sn-Sn-1表示.事实上,当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1.2.易混淆几何平均数与等比中项,正数a,b的等比中项是±.3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知=,求时,无法正确赋值求解.4.易忽视等比数列中公比q≠0,导致增解,易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前n项和公式时,易忘记分类讨论.一定分q=1和q≠1两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时,要注意寻找规律,不要漏掉第一项和最后一项.7.裂项相消法求和时,分裂前后的值要相等,如≠-,而是=.8.通项中含有(-1)n的数列求和时,要把结果写成分n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式.1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),则an等于(  )A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-2答案 A解析 an+1=Sn+1-Sn=2an+1-4-(2an-4)⇒an+1=2an,再令n=1,∴S1=2a1-4⇒a1=4,∴数列{an}是以4为首项,2为公比的等比数列,∴an=4·2n-1=2n+1,故选A.2.已知数列{an}满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列{an}的前n项和,则S2016的值为(  )A.0B.2C.5D.6答案 A解析 由题意得,a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,∴数列{an}是周期为6的周期数列,而2016=6·336,∴S2016=336S6=0,故选A.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=14-a6,则S10等于(  )A.35B.70C.28D.14答案 B解析 a5=14-a6⇒a5+a6=14,S10===70.故选B.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S10=110,则使取得最小值时n的值为(  )A.7B.7或8C.D.8答案 D解析 a2=4,S10=110⇒a1+d=4,10a1+45d=110⇒a1=2,d=2,因此==++,又n∈N*,所以当n=8时,取得最小值.5.等比数列{an}中,a3a5=64,则a4等于(  )A.8B.-8C.8或-8D.16答案 C解析 由等比数列的性质知,a3a5=a,所以a=64,所以a4=8或a4=-8.6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=,且a2+a4=,则等于(  )A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1答案 D解析 设等比数列{an}的公比为q,则解得∴===2n-1.故选D.7.设函数f(x)=xa+ax的导函数f′(x)=2x+2,则数列{}的前9项和是(  )A.B.C.D.答案 C解析 由题意得函数f(x)=xa+ax的导函数f′(x)=2x+2,即axa-1+a=2x+2,所以a=2,即f(x)=x2+2x,==(-),所以Sn=(1-+-+-+…+-)=(1+--).则S9=(1+--)=,故选C.8.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则(n∈N*)的最小值为(  )A.4B.3C.2-2D.答案 A解析 据题意由a1,a3,a13成等比数列可得(1+2d)2=1+12d,解得d=2,故an=2n-1,Sn=n2,因此====(n+1)+-2,据基本不等式知=(n+1)+-2≥2-2=4,当n=2时取得最小值4.9.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于________.答案 4解析 由等比数列的性质有a1a8=a2a7=a3a6=a4a5,所以T8=lga1+lga2+…+lga8=lg(a1a2…a8)=lg(a4a5)4=lg(10)4=4.10.已知数列{an}满足an+1=an+2n且a1=2,则数列{an}的通项公式an=__________.答案 n2-n+2解析 an+1=an+2n,∴an+1-an=2n,采用累加法可得∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1,=2(n-1)+2(n-2)+…+2+2=n2-n+2.11.若数列{an}满足an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),a1=1,则数列{an}的通项公式为an=____________.答案 2×3n-1-1解析 设an+λ=3(an-1+λ),化简得an=3an-1+2λ,∵an=3an-1+2,∴λ=1,∴an+1=3(an-1+1),∵a1=1,∴a1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,∴an+1=2×3n-1,∴an=2×3n-1-1.12.数列1,2,3,4,5,…的前n项之和等于________________.答案 +[1-()n]解析 由数列各项可知通项公式为an=n+,由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前n项和为Sn=+[1-()n].13.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*,且λ≠-1),且a1,2a2,a3+3为等差数列{bn}的前三项.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和.解 (1)方法一 ∵an+1=λSn+1(n∈N*),∴an=λSn-1+1(n≥2).∴an+1-an=λan,即an+1=(λ+1)an(n≥2),λ+1≠0,又a1=1,a2=λS1+1=λ+1,∴数列{an}为以1为首项,以λ+1为公比的等比数列,∴a3=(λ+1)2,∴4(λ+1)=1+(λ+1)2+3,整理得λ2-2λ+1=0,得λ=1.∴an=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.方法二 ∵a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*),∴a2=λS1+1=λ+1,a3=λS2+1=λ(1+λ+1)+1=λ2+2λ+1.∴4(λ+1)=1+λ2+2λ+1+3,整理得λ2-2λ+1=0,得λ=1.∴an+1=Sn+1(n∈N*),∴an=Sn-1+1(n≥2),∴an+1-an=an,即an+1=2an(n≥2),又a1=1,a2=2,∴数列{an}为以1为首项,以2为公比的等比数列,∴an=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn,anbn=(3n-2)·2n-1,∴Tn=1·1+4·21+7·22+…+(3n-2)·2n-1.①∴2Tn=1·21+4·22+7·23+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n.②①-②得-Tn=1·1+3·21+3·22+…+3·2n-1-(3n-2)·2n=1+3·-(3n-2)·2n.整理得Tn=(3n-5)·2n+5.14.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=(n∈N*),(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,若λ≤Tn对于任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.(1)证明 ∵Sn=(n∈N*),①∴Sn-1=(n≥2).②①-②得:an=(n≥2),整理得:(an+an-1)(an-an-1)=(an+an-1),∵数列{an}的各项均为正数,∴an+an-1≠0,∴an-an-1=1(n≥2).当n=1时,a1=1,∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解 由(1)得Sn=,∴bn===2(-),∴Tn=2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=2(1-)=,∵Tn=,∴Tn单调递增,∴Tn≥T1=1,∴λ≤1.故λ的取值范围为(-∞,1].

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