2017年高考数学知识方法专题2《不等式与线性规划第5练 如何让“线性规划”不失分》

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2017年高考数学知识方法专题2《不等式与线性规划第5练 如何让“线性规划”不失分》文字介绍:第5练 如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望] “线性规划”是高考每年必考的内容,主要以选择题、填空题的形式考查,题目难度大多数为低、中档,在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中,要注重常考题型的反复训练,注意研究新题型的变化点,争取在该题目上做到不误时,不丢分.体验高考1.(2015·天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大为(  )A.3B.4C.18D.40答案 C解析 画出约束条件的可行域如图中阴影部分,作直线l:x+6y=0,平移直线l可知,直线l过点A时,目标函数z=x+6y取得最大值,易得A(0,3),所以zmax=0+6×3=18,选C.2.(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为(  )甲乙原料限额A3212B128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案 D解析 设甲,乙的产量分别为x吨,y吨,由已知可得目标函数z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示:可得目标函数在点A处取到最大值.由得A(2,3).则zmax=3×2+4×3=18(万元).3.(2016·山东)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是(  )A.4B.9C.10D.12答案 C解析 满足条件的可行域如图中阴影部分(包括边界),x2+y2是可行域上动点(x,y)到原点(0,0)距离的平方,显然,当x=3,y=-1时,x2+y2取最大值,最大值为10.故选C.4.(2016·浙江)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(  )A.B.C.D.答案 B解析 已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分,由解得A(1,2),由解得B(2,1).由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时,两直线的距离最小,即|AB|==.5.(2015·课标全国Ⅱ)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大为____________.答案 解析 画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC)所示:作直线l0:x+y=0,平移l0到过点A的直线l时,可使直线y=-x+z在y轴上的截距最大,即z最大,解得即A,故z最大=1+=.高考必会题型题型一 已知约束条件,求目标函数的最值例1 (2016·北京)若x,y满足则2x+y的最大为(  )A.0B.3C.4D.5答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z=2x+y,则y=-2x+z,作直线2x+y=0并平移,当直线过点A时,截距最大,即z取得最大值,由得所以A点坐标为(1,2),可得2x+y的最大值为2×1+2=4.点评 (1)确定平面区域的方法:“直线定界,特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值,一般在可行域的顶点处取得,故可先求出可行域的顶点,然后代入比较目标函数的取值即可确定最值.变式训练1 已知实数x,y满足则z=|4x-4y+3|的取值范围是(  )A.[,15)B.[,15]C.[,5)D.(5,15)答案 A解析 根据题意画出不等式所表示的可行域,如图所示,z=|4x-4y+3|=×4表示的几何意义是可行域内的点(x,y)到直线4x-4y+3=0的距离的4倍,结合图象易知点A(2,-1),B(,)到直线4x-4y+3=0的距离分别为最大和最小,此时z分别取得最大值15与最小值,故z∈[,15),故选A.题型二 解决参数问题例2 已知变量x,y满足约束条件若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为(  )A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1]D.[-1,1)答案 C解析 由题意作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,则x+2y≥-5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x+2y=-5的上方,由得由得则实数a的取值范围为[-1,1].点评 所求参数一般为对应直线的系数,最优解的取得可能在某点,也可能是可行域边界上的所有点,要根据情况利用数形结合进行确定,有时还需分类讨论.变式训练2 (2015·山东)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大为4,则a等于(  )A.3B.2C.-2D.-3答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知A(2,0),由得B(1,1).由z=ax+y,得y=-ax+z.∴当a=-2或a=-3时,z=ax+y在O(0,0)处取得最大值,最大值为zmax=0,不满足题意,排除C,D选项;当a=2或3时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,∴2a=4,∴a=2,排除A,故选B.题型三 简单线性规划的综合应用例3 (1)(2016·浙江)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|等于(  )A.2B.4C.3D.6(2)(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大为________元.答案 (1)C (2)216000解析 (1)已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ所示.因为l与直线x+y=0平行.所以区域内的点在直线x+y-2上的投影构成线段AB,则|AB|=|PQ|.由解得P(-1,1),由解得Q(2,-2).所以|AB|=|PQ|==3.(2)设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为目标函数z=2100x+900y.作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,zmax=2100×60+900×100=216000(元).点评 若变量的约束条件形成一个区域,如圆、三角形、带状图形等,都可考虑用线性规划的方法解决,解决问题的途径是:集中变量的约束条件得到不等式组,画出可行域确定变量的取值范围,解决具体问题.变式训练3 设点P(x,y)是不等式组所表示的平面区域内的任意一点,向量m=(1,1),n=(2,1),点O是坐标原点,若向量OP=λm+μn(λ,μ∈R),则λ-μ的取值范围是()A.[-,]B.[-6,2]C.[-1,]D.[-4,]答案 B解析 画出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示.由题意,可得(x,y)=λ(1,1)+μ(2,1)=(λ+2μ,λ+μ),故令z=λ-μ=-2(λ+2μ)+3(λ+μ)=-2x+3y,变形得y=x+.当直线y=x+过点A(-1,0)时,z取得最大值,且zmax=2;当直线y=x+过点B(3,0)时,z取得最小值,且zmin=-6.故选B.高考题型精练1.(2015·安徽)已知x,y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是(  )A.-1B.-2C.-5D.1答案 A解析 约束条件下的可行域如图所示,由z=-2x+y可知y=2x+z,当直线y=2x+z过点A(1,1)时,截距最大,此时z最大为-1,故选A.2.(2016·四川)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的(  )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 如图,(x-1)2+(y-1)2≤2①表示圆心为(1,1),半径为的圆内区域所有点(包括边界);②表示△ABC内部区域所有点(包括边界).实数x,y满足②则必然满足①,反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.3.在平面直角坐标系中,点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点,Q是直线2x+y=0上任意一点,O为坐标原点,则|OP+OQ|的最小为(  )A.B.C.D.1答案 A解析 在直线2x+y=0上取一点Q′,使得Q′O=OQ,则|OP+OQ|=|OP+Q′O|=|Q′P|≥|P′P|≥|BA|,其中P′,B分别为点P,A在直线2x+y=0上的投影,如图.因为|AB|==,因此|OP+OQ|min=,故选A.4.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大为(  )A.5B.29C.37D.49答案 C解析 由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.∵圆C与x轴相切,∴b=1.显然当圆心C位于直线y=1与x+y-7=0的交点(6,1)处时,amax=6.∴a2+b2的最大值为62+12=37.故选C.5.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大为4,则ab的取值范围是(  )A.(0,4)B.(0,4]C.[4,+∞)D.(4,+∞)答案 B解析 作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,由图可知,z=ax+by(a>0,b>0)过点A(1,1)时取最大值,∴a+b=4,ab≤2=4,∵a>0,b>0,∴ab∈(0,4],故选B.6.已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值范围是(  )A.(-6,-2)B.(-3,2)C.(-,-2)D.(-,-3)答案 C解析 作出可行域,如图所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,∴a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.7.已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的为(  )A.4B.3C.2D.-答案 C解析 表示的可行域如图中阴影部分所示.将直线l0:2x+y=0向上平移至过点A,B时,z=2x+y分别取得最小值与最大值.由得A(m-1,m),由得B(4-m,m),所以zmin=2(m-1)+m=3m-2,zmax=2(4-m)+m=8-m,所以zmax-zmin=8-m-(3m-2)=2,解得m=2.8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是(  )A.B.C.D.答案 C解析 当m≥0时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不可能存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,因此m<0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.要使可行域内包含y=x-1上的点,只需可行域边界点(-m,m)在直线y=x-1的下方即可,即m<-m-1,解得m<-.9.(2016·江苏)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是________.答案 解析 已知不等式组所表示的平面区域如下图:x2+y2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组得A(2,3).由图可知(x2+y2)min=2=,(x2+y2)max=|OA|2=22+32=13.10.4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元,而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24,则买3件A商品与9件B商品至少需要________元.答案 22解析 设1件A商品的价格为x元,1件B商品的价格为y元,买3件A商品与9件B商品需要z元,则z=3x+9y,其中x,y满足不等式组作出不等式组表示的平面区域,如图所示,其中A(0,4),B(0,8),C(,).当y=-x+z经过点C时,目标函数z取得最小值.所以zmin=3×+9×=22.因此当1件A商品的价格为元,1件B商品的价格为元时,可使买3件A商品与9件B商品的费用最少,最少费用为22元.11.给定区域D:令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定________条不同的直线.答案 6解析 线性区域为图中阴影部分,取得最小值时点为(0,1),最大值时点为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故共可确定6条不同的直线.12.(2015·浙江)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是________.答案 3解析 满足x2+y2≤1的实数x,y表示的点(x,y)构成的区域是单位圆及其内部.f(x,y)=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y=直线y=-2x+2与圆x2+y2=1交于A,B两点,如图所示,易得B.设z1=4+x-2y,z2=8-3x-4y,分别作直线y=x和y=-x并平移,则z1=4+x-2y在点B取得最小值为3,z2=8-3x-4y在点B取得最小值为3,所以|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3.

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