2017年高考数学知识方法专题7《解析几何第30练 直线与圆》

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2017年高考数学知识方法专题7《解析几何第30练 直线与圆》文字介绍:第30练 直线与圆[题型分析·高考展望] 直线与圆是解析几何的基础,在高考中,除对本部分知识单独考查外,更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查.单独考查时,一般为选择题、填空题,难度不大,属低中档题.直线的方程,圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.体验高考1.(2015·广东)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(  )A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=0答案 A解析 设所求直线方程为2x+y+c=0,依题意有=,解得c=±5,所以所求直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0,故选A.2.(2015·课标全国Ⅱ)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M、N两点,则|MN|等于(  )A.2B.8C.4D.10答案 C解析 由已知,得AB=(3,-1),BC=(-3,-9),则AB·BC=3×(-3)+(-1)×(-9)=0,所以AB⊥BC,即AB⊥BC,故过三点A,B,C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,选C.3.(2015·山东)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(  )A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-答案 D解析 由已知,得点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d==1,解得k=-或k=-,故选D.4.(2016·上海)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离为______.答案 解析 d==.5.(2016·课标全国丙)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=________.答案 4解析 设AB的中点为M,由题意知,圆的半径R=2,|AB|=2,所以|OM|=3,解得m=-,由解得A(-3,),B(0,2),则AC的直线方程为y-=-(x+3),BD的直线方程为y-2=-x,令y=0,解得C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4.高考必会题型题型一 直线方程的求法与应用例1 (1)若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为(  )A.2x+y-3=0B.x-2y+1=0C.x+2y-3=0D.2x-y-1=0答案 D解析 由题意知圆心C(3,0),kCP=-.由kCP·kMN=-1,得kMN=2,所以弦MN所在直线的方程是2x-y-1=0.(2)已知△ABC的顶点A(3,-1),AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.解 设B(4y1-10,y1),由AB中点在6x+10y-59=0上,可得:6·+10·-59=0,y1=5,∴B(10,5).设A点关于x-4y+10=0的对称点为A′(x′,y′),则有⇒A′(1,7),∵点A′(1,7),B(10,5)在直线BC上,∴=,故BC边所在直线的方程是2x+9y-65=0.点评 (1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1;②判定两直线平行与垂直的关系时,如果给出的直线方程中存在字母系数,不仅要考虑斜率存在的情况,还要考虑斜率不存在的情况.(2)求直线方程的常用方法①直接法:直接选用恰当的直线方程的形式,写出结果;②待定系数法:先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有一个待定系数,再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1 已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P,且垂直于直线x-2y-1=0.(1)求直线l的方程;(2)求直线l关于原点O对称的直线方程.解 (1)由解得所以点P的坐标是(-2,2),又因为直线x-2y-1=0,即y=x-的斜率为k′=,由直线l与x-2y-1=0垂直可得kl=-=-2,故直线l的方程为:y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0.(2)直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距分别是-1与-2,则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2,所求直线方程为+=1,即2x+y-2=0.题型二 圆的方程例2 (1)(2015·湖北)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.①圆C的标准方程为________________.②圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.答案 ①(x-1)2+(y-)2=2 ②--1解析 ①由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径),则r2=2+12=2,解得r=.所以圆C的方程为(x-1)2+(y-)2=2.②方法一 令x=0,得y=±1,所以点B(0,+1).又点C(1,),所以直线BC的斜率为kBC=-1,所以过点B的切线方程为y-(+1)=x-0,即y=x+(+1).令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.方法二 令x=0,得y=±1,所以点B(0,+1).又点C(1,),设过点B的切线方程为y-(+1)=kx,即kx-y+(+1)=0.由题意,得圆心C(1,)到直线kx-y+(+1)=0的距离d==r=,解得k=1.故切线方程为x-y+(+1)=0.令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.(2)已知圆C经过点A(2,-1),并且圆心在直线l1:y=-2x上,且该圆与直线l2:y=-x+1相切.①求圆C的方程;②求以圆C内一点B为中点的弦所在直线l3的方程.解 ①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则 解得故圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.②由①知圆心C的坐标为(1,-2),则kCB==-.设直线l3的斜率为k3,由k3·kCB=-1,可得k3=2.故直线l3的方程为y+=2(x-2),即4x-2y-13=0.点评 求圆的方程的两种方法(1)几何法:通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法:用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.变式训练2 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.解 (1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y),连接BN.在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2015·重庆)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|等于(  )A.2B.4C.6D.2答案 C解析 根据直线与圆的位置关系求解.由于直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,∴圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上,∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1).∴|AC|2=36+4=40.又r=2,∴|AB|2=40-4=36.∴|AB|=6.(2)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.①写出圆C的标准方程,并指出圆心坐标和半径大小;②是否存在斜率为1的直线m,使m被圆C截得的弦为AB,且OA⊥OB(O为坐标原点).若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.解 ①圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9,则圆心C的坐标为(1,-2),半径为3.②假设存在这样的直线m,根据题意可设直线m:y=x+b.联立直线与圆的方程得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,因为直线与圆相交,所以Δ>0,即b2+6b-9<0,且满足x1+x2=-b-1,x1x2=,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=x1+b,y2=x2+b,由OA⊥OB得OA·OB=x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,即b2+3b-4=0得b=-4或b=1,且均满足b2+6b-9<0,故所求的直线m存在,方程为y=x-4或y=x+1.点评 研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法,将几何问题代数化,利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法,即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d及半弦长,构成直角三角形的三边,利用其关系来处理.变式训练3 已知以点C(t,)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.(1)证明 ∵圆C过原点O,且|OC|2=t2+.∴圆C的方程是(x-t)2+(y-)2=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=|OA|·|OB|=×||×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.(2)解 ∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,∴OC垂直平分线段MN.∵kMN=-2,∴kOC=.∴=t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),|OC|=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=<,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),|OC|=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=>.圆C与直线y=-2x+4不相交,∴t=-2不符合题意,舍去.∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.高考题型精练1.已知x,y满足x+2y-5=0,则(x-1)2+(y-1)2的最小值为(  )A.B.C.D.答案 A解析 (x-1)2+(y-1)2表示点P(x,y)到点Q(1,1)的距离的平方.由已知可得点P在直线l:x+2y-5=0上,所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离,即d==,所以(x-1)2+(y-1)2的最小值为d2=.故选A.2.“m=3”是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:(m-3)x+2y-5=0垂直”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由l1⊥l2得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,∴m=3或m=-2.∴m=3是l1⊥l2的充分不必要条件.3.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(  )A.3B.2C.3D.4答案 A解析 依题意知AB的中点M的集合是与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得=⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为=3.4.(2016·山东)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案 B解析 ∵圆M:x2+(y-a)2=a2,∴圆心坐标为M(0,a),半径r1=a,圆心M到直线x+y=0的距离d=,由几何知识得2+()2=a2,解得a=2.∴M(0,2),r1=2.又圆N的圆心坐标N(1,1),半径r2=1,∴|MN|==,r1+r2=3,r1-r2=1.∴r1-r2<|MN|<r1+r2,∴两圆相交,故选B.5.与圆x2+y2=1和圆x2+y2-8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹是()A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点)答案 D解析 设所求圆圆心为M(x,y),半径为r,圆x2+y2-8x+7=0⇒(x-4)2+y2=9,圆心设为C(4,0),由题意得当动圆与两定圆外切时,即|MO|=r+1,|MC|=r+3,从而|MC|-|MO|=2<|OC|,因此为双曲线的一支,当动圆与两定圆一个外切一个内切时,必切于两定圆切点,即M必在x轴上,但需去掉O,C及两定圆切点,因此选D.6.(2015·课标全国Ⅱ)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(  )A.B.C.D.答案 B解析 由点B(0,),C(2,),得线段BC的垂直平分线方程为x=1,①由点A(1,0),B(0,),得线段AB的垂直平分线方程为y-=,②联立①②,解得△ABC外接圆的圆心坐标为,其到原点的距离为=.故选B.7.(2016·山东)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为________.答案 解析 由已知得,圆心(5,0)到直线y=kx的距离小于半径,∴<3,解得-

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