2017年高考数学知识方法专题8《概率与统计第36练 “排列、组合”常考问题》

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2017年高考数学知识方法专题8《概率与统计第36练 “排列、组合”常考问题》文字介绍:第36练 “排列、组合”常考问题[题型分析·高考展望] 该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块,知识点并不多,但解决问题的方法十分灵活,主要内容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等,在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现,考查排列、组合的应用.体验高考1.(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(  )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B解析 由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A=72(个);若万位是4,则有2×A=48(个),故比40000大的偶数共有72+48=120(个).选B.2.(2016·课标全国甲)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(  )A.24B.18C.12D.9答案 B解析 从E点到F点的最短路径有6种,从F点到G点的最短路径有3种,所以从E点到G点的最短路径为6×3=18(种),故选B.3.(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(  )A.24B.48C.60D.72答案 D解析 由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5;分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C,再将剩下的4个数字排列得到A,则满足条件的五位数有C·A=72(个).选D.4.(2015·广东)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).答案 1560解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了A=40×39=1560(条)毕业留言.高考必会题型题型一 排列问题例1 (1)在5×5的棋盘中,放入3颗黑子和2颗白子,它们均不在同一行且不在同一列,则不同的排列方法种数为(  )A.150B.200C.600D.1200(2)即将毕业的6名同学排成一排照相留念,个子较高的明明同学既不能站最左边,也不能站最右边,则不同的站法种数为________.答案 (1)D (2)480解析 (1)由已知,第一颗棋子有5×5=25(种)放法,由于放入3颗黑子和2颗白子,它们均不在同一行且不在同一列,所以第二颗棋子有4×4=16(种)放法,第三颗棋子有3×3=9(种)放法,第四颗棋子有2×2=4(种)放法,第五颗棋子有1种放法,又由于黑子、白子分别相同,所以不同的排列方法种数为=1200,选D.(2)方法一 (位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分为两步:第1步,从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边,有A种站法;第2步,余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上,有A种站法.由分步乘法计数原理,知共有AA=480(种)不同的站法.方法二 (元素分析法)先安排明明的位置,再安排其他5人的位置,分为两步:第1步,将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上,有A种站法;第2步,余下5人站在剩下5个位置上,有A种站法.由分步乘法计数原理,知共有AA=480(种)不同的站法.方法三 (反面求解法)6人没有限制的排队有A种站法,明明站在最左边或最右边时6人排队有2A种站法,因此符合条件的不同站法共有A-2A=480(种).点评 求解排列问题的常用方法(1)特殊元素(特殊位置)优先法;(2)相邻问题捆绑法;(3)不相邻问题插空法;(4)定序问题缩倍法;(5)多排问题一排法.变式训练1 (1)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(  )A.144B.120C.72D.24(2)有甲、乙、丙、丁、戊5位同学,求:①5位同学站成一排,有________种不同的方法;②5位同学站成一排,要求甲乙必须相邻,丙丁不能相邻,有________种不同的方法.答案 (1)D (2)①120 ②24解析 (1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A=4×3×2=24.(2)①A=120.②5位同学站成一排,要求甲乙必须相邻,丙丁不能相邻,故有AAA=24种不同的排法.题型二 组合问题例2 在一次国际抗震救灾中,从7名中方搜救队队员,4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务,按下列要求,分别计算有多少种组队方法.(1)至少有2名外籍搜救队队员;(2)至多有3名外籍搜救队队员.解 (1)方法一 (直接法)由题意,知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类:①有2名外籍队员,共有C·C种组队方法;②有3名外籍队员,共有C·C种组队方法;③有4名外籍队员,共有C·C种组队方法.根据分类加法计数原理,知至少有2名外籍搜救队队员共有C·C+C·C+C·C=301(种)不同的组队方法.方法二 (间接法)由题意,知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”,可分为2类:①只有1名外籍搜救队队员,共有CC种组队方法;②没有外籍搜救队队员,共有CC种组队方法.所以至少有2名外籍搜救队队员共有C-CC-CC=301(种)不同的组队方法.(2)方法一 (直接法)由题意,知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类:①有3名外籍搜救队队员,共有CC种方法;②有2名外籍搜救队队员,共有CC种方法;③有1名外籍搜救队队员,共有CC种方法;④没有外籍搜救队队员,共有C种方法.由分类加法计数原理,知至多有3名外籍搜救队队员共有CC+CC+CC+C=455(种)不同的组队方法.方法二 (间接法)由题意,知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.因为至少有4名外籍搜救队队员,共有CC种组队方法,所以至多有3名外籍搜救队队员共有C-CC=455(种)不同组队方法.点评 (1)先看是否与排列顺序有关,从而确定是否为组合问题.(2)看是否需要分类、分步,如何确定分类标准.(3)判断是否为“分组”问题,避免重复.变式训练2 (1)从不同号码的三双靴子中任取4只,其中恰好有一双的取法种数为(  )A.12B.24C.36D.72(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________.(用数字作答)答案 (1)A (2)590解析 (1)恰好有一双的取法种数为CCC=12.(2)分三类:①选1名骨科医生,则有C(CC+CC+CC)=360(种).②选2名骨科医生,则有C(CC+CC)=210(种).③选3名骨科医生,则有CCC=20(种).∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360+210+20=590.题型三 排列与组合的综合应用问题例3 4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒子内.(1)恰有1个盒子不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒子内有2个球,共有几种放法?(3)恰有2个盒子不放球,共有几种放法?解 (1)为保证“恰有1个盒子不放球”,先从4个盒子中任意取出一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”,即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有CCCA=144(种).(2)“恰有1个盒子内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒子内有2个球”与“恰有1个盒子不放球”是同一件事,所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有CCA种方法;第二类有序均匀分组有·A种方法.故共有C(CCA+·A)=84(种).点评 (1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.(2)对于较复杂的排列、组合问题,应按元素的性质或题意要求进行分类,对事件发生的过程进行分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,才能保证不“重”不“漏”.(3)关于“至少”“至多”等计数问题,一般需要进行分类,若分类比较复杂,可用间接法,找出其对立事件来求解.变式训练3 (1)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排,且A、B均在C的同侧,则不同的排法共有________种.(用数字作答)(2)把A、B、C、D四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且A、B两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有()A.36种B.30种C.24种D.18种答案 (1)480 (2)B解析 (1)分类讨论:A、B都在C的左侧,且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算,再考虑右侧情况.所以共有2(AA+CAA+CA+A)=480(种).(2)由题意A、B两件玩具不能分给同一个人,因此分法为C(C-1)A=3×5×2=30(种).高考题型精练1.A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法共有(  )A.24种B.60种C.90种D.120种答案 B解析 五人并排站成一排,有A种情况,而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的,则B站在A的右边的排法共有A=60(种).2.A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐在最北面的椅子上,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有(  )A.60种B.48种C.30种D.24种答案 B解析 由题知,不同的座次有AA=48(种).3.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(  )A.10种B.8种C.9种D.12种答案 D解析 第一步,为甲地选一名老师,有C=2(种)选法;第二步,为甲地选两个学生,有C=6(种)选法;第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法,故不同的安排方案共有2×6×1=12(种).4.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用,有5名同学前去就餐,每人只选择其中一种,且每种主食都至少有一名同学选择.已知花卷数量不足,仅够一人食用,甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭,则这5名同学不同的主食选择方案种数为(  )A.144B.132C.96D.48答案 B解析 分类讨论:甲选花卷,其余4人中有2人选同一种主食,方法有CC=18(种),剩下2人选其余主食,方法有A=2(种),共有方法18×2=36(种);甲不选花卷,其余4人中有1人选花卷,方法有4种,甲选包子或面条,方法有2种,其余3人若有1人选甲选的主食,剩下2人选其余主食,方法有3A=6(种),若没有人选甲选的主食,方法有CA=6(种),共有4×2×(6+6)=96(种),故共有36+96=132(种),故选B.5.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为(  )A.232B.252C.472D.484答案 C解析 分两类:第一类,含有1张红色卡片,共有不同的取法CC=264(种);第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法C-3C=220-12=208(种).由分类加法计数原理知不同的取法有264+208=472(种).6.如图,用6种不同的颜色把图A,B,C,D,4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有________种(用数字作答).答案 480解析 从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法,D有4种涂色方法,由分步乘法计数原理可知,共有6×5×4×4=480(种)涂色方法.7.某城市的交通道路如图,从城市的西南角A到城市东北角B,不经过十字道路维修处C,最近的走法种数是________.答案 66解析 从城市的西南角A到城市的东北角B,最近的走法种数共有C=126(种)走法,从城市的西南角A经过十字道口维修处C,最近的走法有C=10(种),从C到城市的东北角B,最近的走法有C=6(种),所以从城市西南角A到城市的东北角B,经过十字道路维修处C最近的走法有10×6=60(种),所以从城市的西南角A到城市东北角B,不经过十字道路维修处C,最近的走法有126-60=66(种).8.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3,则称这个三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为________.答案 240解析 可根据中间数进行分类,中间数依次可为2,3,4,5,6,7,8,9,然后确定百位和个位,共有1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9=240(个).9.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为社会关注的5个热点.小王想在国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度.若小王准备从中选取4个热点分别进行调查,则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的种数为________.答案 72解析 先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点中选出3个,有C种不同的选法.在调查时,“雾霾治理”的安排顺序有A种可能情况,其余3个热点的安排顺序有A种,故不同调查顺序的种数为CAA=72.10.一个质点从原点出发,每秒末必须向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度,则此质点在第8秒末到达点P(4,2)的跳法共有________种.答案 448解析 分两类情况讨论:第一类:向右跳4次,向上跳3次,向下跳1次,有CC=280(种);第二类,向右跳5次,向上跳2次,向左跳1次,有CC=168(种);根据分类加法计数原理得,共有280+168=448(种)方法.11.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种.(用数字作答)答案 60解析 把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C种分法,再分给4人有A种分法,所以不同获奖情况种数为A+CA=24+36=60.12.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?解 如图所示,将4个小方格依次编号为1,2,3,4,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有A=12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知,有5×12×3=180(种)不同的涂法;②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻方格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知.有5×4×4=80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得,共有180+80=260(种)不同的涂法.

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