2017年高考数学知识方法专题10《数学思想第43练 函数与方程思想》

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2017年高考数学知识方法专题10《数学思想第43练 函数与方程思想》文字介绍:第43练 函数与方程思想[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y>0时,就化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关与.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.体验高考1.(2015·湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是________.答案 (-∞,0)∪(1,+∞)解析 函数g(x)有两个零点,即方程f(x)-b=0有两个不等实根,则函数y=f(x)和y=b的图象有两个公共点.①若a<0,则当x≤a时,f(x)=x3,函数单调递增;当x>a时,f(x)=x2,函数先单调递减后单调递增,f(x)的图象如图(1)实线部分所示,其与直线y=b可能有两个公共点.②若0≤a≤1,则a3≤a2,函数f(x)在R上单调递增,f(x)的图象如图(2)实线部分所示,其与直线y=b至多有一个公共点.③若a>1,则a3>a2,函数f(x)在R上不单调,f(x)的图象如图(3)实线部分所示,其与直线y=b可能有两个公共点.综上,a<0或a>1.2.(2015·安徽)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.答案 ①③④⑤解析 令f(x)=x3+ax+b,f′(x)=3x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,必有一个实根,④⑤正确;当a<0时,由于选项当中a=-3,∴只考虑a=-3这一种情况,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),∴f(x)极大=f(-1)=-1+3+b=b+2,f(x)极小=f(1)=1-3+b=b-2,要有一根,f(x)极大<0或f(x)极小>0,∴b<-2或b>2,①③正确,②错误.所有正确条件为①③④⑤.3.(2016·课标全国甲)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)等于(  )A.0B.mC.2mD.4m答案 B解析 方法一 特殊函数法,根据f(-x)=2-f(x)可设函数f(x)=x+1,由y=,解得两个点的坐标为此时m=2,所以(xi+yi)=m,故选B.方法二 由题设得(f(x)+f(-x))=1,点(x,f(x))与点(-x,f(-x))关于点(0,1)对称,则y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.又y==1+,x≠0的图象也关于点(0,1)对称.则交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)成对,且关于点(0,1)对称.则(xi,yi)=i+i=0+×2=m,故选B.高考必会题型题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1 (2016·天津)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(  )A.B.C.∪D.∪答案 C解析 由y=loga(x+1)+1在[0,+∞)上递减,得02,即a>时,由x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中x<0),得x2+(4a-2)x+3a-2=0(其中x<0),则Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得a=或a=1(舍去);当1≤3a≤2,即≤a≤时,由图象可知,符合条件.综上所述,a∈∪.故选C.点评 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化,解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点,反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题.变式训练1 已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为(  )A.-5B.-6C.-7D.-8答案 C解析 g(x)===2+,由题意知函数f(x)的周期为2,则函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的图象如图所示:由图象知f(x)、g(x)有三个交点,故方程f(x)=g(x)在x∈[-5,1]上有三个根xA、xB、xC,xB=-3,=-2,xA+xC=-4,∴xA+xB+xC=-7.题型二 函数与方程思想在不等式中的应用例2 定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f(x)>f′(x),且f(0)=1,则不等式<1的解集为(  )A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)答案 B解析 构造函数g(x)=,则g′(x)==.由题意得g′(x)<0恒成立,所以函数g(x)=在R上单调递减.又g(0)==1,所以<1,即g(x)<1,所以x>0,所以不等式的解集为(0,+∞).故选B.点评 不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化.一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数.变式训练2 已知f(x)=log2x,x∈[2,16],对于函数f(x)值域内的任意实数m,则使x2+mx+4>2m+4x恒成立的实数x的取值范围为(  )A.(-∞,-2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)答案 D解析 ∵x∈[2,16],∴f(x)=log2x∈[1,4],即m∈[1,4].不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立,即为m(x-2)+(x-2)2>0恒成立,设g(m)=(x-2)m+(x-2)2,则此函数在[1,4]上恒大于0,所以即解得x<-2或x>2.题型三 函数与方程思想在数列中的应用例3 已知数列{an}是首项为2,各项均为正数的等差数列,a2,a3,a4+1成等比数列,设bn=++…+(其中Sn是数列{an}的前n项和),若对任意n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求实数k的最小值.解 因为a1=2,a=a2·(a4+1),又因为{an}是正项等差数列,故d≥0,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),得d=2或d=-1(舍去),所以数列{an}的通项公式an=2n.因为Sn=n(n+1),bn=++…+=++…+=-+-+…+-=-==.令f(x)=2x+(x≥1),则f′(x)=2-,当x≥1时,f′(x)>0恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=,要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立,则须使k≥(bn)max=,所以实数k的最小值为.点评 数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似,但要注意数列问题中n的取值范围为正整数,涉及的函数具有离散性特点,其一般解题步骤为:第一步:分析数列式子的结构特征.第二步:根据结构特征构造“特征”函数(方程),转化问题形式.第三步:研究函数性质.结合解决问题的需要,研究函数(方程)的相关性质,主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.第四步:回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究,回归问题.变式训练3 设Sn为等差数列{an}的前n项和,(n+1)Sn<nSn+1(n∈N*).若<-1,则(  )A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S7答案 D解析 由条件得<,即<,所以an<an+1,所以等差数列{an}为递增数列.又<-1,所以a8>0,a7<0,即数列{an}前7项均小于0,第8项大于零,所以Sn的最小值为S7,故选D.题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,短轴长为,离心率为,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且AP=3PB.(1)求椭圆C的方程;(2)求m的取值范围.解 (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),设c>0,c2=a2-b2,由题意,知2b=,=,所以a=1,b=c=.故椭圆C的方程为y2+=1,即y2+2x2=1.(2)①当直线l的斜率不存在时,也满足AP=3PB,此时m=±.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),l与椭圆C的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0,Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*)x1+x2=,x1x2=.因为AP=3PB,所以-x1=3x2,所以则3(x1+x2)2+4x1x2=0,即3·2+4·=0,整理得4k2m2+2m2-k2-2=0,即k2(4m2-1)+2m2-2=0,当m2=时,上式不成立;当m2≠时,k2=,由(*)式,得k2>2m2-2,又k≠0,所以k2=>0,解得-10或Δ≥0中,即可求出目标参数的取值范围.第五步:回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时,无论题目中有没有涉及求参数的取值范围,都不能忽视了判别式对某些量的制约,这是求解这类问题的关键环节.变式训练4 已知点F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,点P为椭圆上一点,且PF1·PF2=c2,则此椭圆离心率的取值范围是____________.答案 解析 设P(x,y),则PF1·PF2=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,①将y2=b2-x2代入①式解得x2==,又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=∈.高考题型精练1.关于x的方程3x=a2+2a,在(-∞,1]上有解,则实数a的取值范围是(  )A.[-2,-1)∪(0,1]B.[-3,-2)∪[0,1]C.[-3,-2)∪(0,1]D.[-2,-1)∪[0,1]答案 C解析 当x∈(-∞,1]时,3x∈(0,3],要使3x=a2+2a有解,a2+2a的值域必须为(0,3],即00,F(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增,F(x)的最小值为F(1)=1-,所以a≥1-,故选D.3.已知f(x)=x2-4x+4,f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)),函数y=fn(x)的零点个数记为an,则an等于()A.2nB.2n-1C.2n+1D.2n或2n-1答案 B解析 f1(x)=x2-4x+4=(x-2)2,有1个零点2,由f2(x)=0可得f1(x)=2,则x=2+或x=2-,即y=f2(x)有2个零点,由f3(x)=0可得f2(x)=2-或2+,则(x-2)2=2-或(x-2)2=2+,即y=f3(x)有4个零点,以此类推可知,y=fn(x)的零点个数an=2n-1.故选B.4.已知函数f(x)=lnx-x+-1,g(x)=-x2+2bx-4,若对任意x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,则实数b的取值范围为____________.答案 解析 问题等价于f(x)min≥g(x)max.f(x)=lnx-x+-1,所以f′(x)=--=,令f′(x)>0得x2-4x+3<0,解得12时,g(x)max=g(2)=4b-8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b<1,解第二个不等式组得1≤b≤,第三个不等式组无解.综上所述,b的取值范围是.5.满足条件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是________.答案 2解析 可设BC=x,则AC=x,根据面积公式得S△ABC=x,由余弦定理计算得cosB=,代入上式得S△ABC=x=.由得2-2α,则α∈(0,1),β∈(1,+∞),若函数y=f′(x)在(e,+∞)内有异号零点,即y=φ(x)在(e,+∞)内有异号零点,所以β>e,又φ(0)=1>0,所以φ(e)=e2-(2+a)e+1<0,解得a>e+-2,所以实数a的取值范围是(e+-2,+∞).8.已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围.解 (1)∵f(x)=ex-ax-1(x∈R),∴f′(x)=ex-a.令f′(x)≥0,得ex≥a,当a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立;当a>0时,有x≥lna.综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)的单调增区间为(lna,+∞).(2)由(1)知f′(x)=ex-a.∵f(x)在R上单调递增,∴f′(x)=ex-a≥0恒成立,即a≤ex在R上恒成立.∵当x∈R时,ex>0,∴a≤0,即a的取值范围是(-∞,0].9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积为时,求k的值.解 (1)由题意得解得b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.所以|MN|===.又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,所以△AMN的面积为S=|MN|·d=.由=,解得k=±1.所以k的值为1或-1.10.已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若bn=an+log2,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn-2n+1+47<0成立的正整数n的最小值.解 (1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,依题意,有即由①得q2-3q+2=0,解得q=1或q=2.当q=1时,不合题意.舍去;当q=2时,代入②得a1=2,所以an=2×2n-1=2n.(2)bn=an+log2=2n+log2=2n-n.所以Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n=(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=-=2n+1-2-n-n2.因为Sn-2n+1+47<0,所以2n+1-2-n-n2-2n+1+47<0,即n2+n-90>0,解得n>9或n<-10.因为n∈N*,故使Sn-2n+1+47<0成立的正整数n的最小值为10.

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