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2017年高考数学知识方法专题10《数学思想第43练函数与方程思想》

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2017年高考数学知识方法专题10《数学思想第43练函数与方程思想》文字介绍:第43练　函数与方程思想[思想方法解读]　1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关与.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.体验高考1.(2015·湖南)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)解析　函数g(x)有两个零点，即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点.①若a<0，则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增；当x>a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点.②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点.③若a>1，则a3>a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点.综上，a<0或a>1.2.(2015·安徽)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.答案　①③④⑤解析　令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，②错误.所有正确条件为①③④⑤.3.(2016·课标全国甲)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)等于(　　)A.0B.mC.2mD.4m答案　B解析　方法一　特殊函数法，根据f(－x)＝2－f(x)可设函数f(x)＝x＋1，由y＝，解得两个点的坐标为此时m＝2，所以(xi＋yi)＝m，故选B.方法二　由题设得(f(x)＋f(－x))＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))关于点(0，1)对称，则y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称.又y＝＝1＋，x≠0的图象也关于点(0，1)对称.则交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对，且关于点(0，1)对称.则(xi，yi)＝i＋i＝0＋×2＝m，故选B.高考必会题型题型一　利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1　(2016·天津)已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　)A.B.C.∪D.∪答案　C解析　由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得02，即a>时，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝或a＝1(舍去)；当1≤3a≤2，即≤a≤时，由图象可知，符合条件.综上所述，a∈∪.故选C.点评　函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题.变式训练1　已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5，1]上的所有实根之和为(　　)A.－5B.－6C.－7D.－8答案　C解析　g(x)＝＝＝2＋，由题意知函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间[－5，1]上的图象如图所示：由图象知f(x)、g(x)有三个交点，故方程f(x)＝g(x)在x∈[－5，1]上有三个根xA、xB、xC，xB＝－3，＝－2，xA＋xC＝－4，∴xA＋xB＋xC＝－7.题型二　函数与方程思想在不等式中的应用例2　定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为(　　)A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.(－∞，2)D.(2，＋∞)答案　B解析　构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减.又g(0)＝＝1，所以<1，即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞).故选B.点评　不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.变式训练2　已知f(x)＝log2x，x∈[2，16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，则使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为(　　)A.(－∞，－2]B.[2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案　D解析　∵x∈[2，16]，∴f(x)＝log2x∈[1，4]，即m∈[1，4].不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在[1，4]上恒大于0，所以即解得x<－2或x>2.题型三　函数与方程思想在数列中的应用例3　已知数列{an}是首项为2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a4＋1成等比数列，设bn＝＋＋…＋(其中Sn是数列{an}的前n项和)，若对任意n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值.解　因为a1＝2，a＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.因为Sn＝n(n＋1)，bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝，所以实数k的最小值为.点评　数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：第一步：分析数列式子的结构特征.第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.变式训练3　设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*).若＜－1，则(　　)A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S7答案　D解析　由条件得＜，即＜，所以an＜an＋1，所以等差数列{an}为递增数列.又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.题型四　函数与方程思想在解析几何中的应用例4　椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝3PB.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围.解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，设c>0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，也满足AP＝3PB，此时m＝±.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)x1＋x2＝，x1x2＝.因为AP＝3PB，所以－x1＝3x2，所以则3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，即3·2＋4·＝0，整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋2m2－2＝0，当m2＝时，上式不成立；当m2≠时，k2＝，由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0，所以k2＝>0，解得－10或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围.第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节.变式训练4　已知点F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P为椭圆上一点，且PF1·PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是____________.答案　解析　设P(x，y)，则PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①将y2＝b2－x2代入①式解得x2＝＝，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈.高考题型精练1.关于x的方程3x＝a2＋2a，在(－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是(　　)A.[－2，－1)∪(0，1]B.[－3，－2)∪[0，1]C.[－3，－2)∪(0，1]D.[－2，－1)∪[0，1]答案　C解析　当x∈(－∞，1]时，3x∈(0，3]，要使3x＝a2＋2a有解，a2＋2a的值域必须为(0，3]，即00，F(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，F(x)的最小值为F(1)＝1－，所以a≥1－，故选D.3.已知f(x)＝x2－4x＋4，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，函数y＝fn(x)的零点个数记为an，则an等于()A.2nB.2n－1C.2n＋1D.2n或2n－1答案　B解析　f1(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，有1个零点2，由f2(x)＝0可得f1(x)＝2，则x＝2＋或x＝2－，即y＝f2(x)有2个零点，由f3(x)＝0可得f2(x)＝2－或2＋，则(x－2)2＝2－或(x－2)2＝2＋，即y＝f3(x)有4个零点，以此类推可知，y＝fn(x)的零点个数an＝2n－1.故选B.4.已知函数f(x)＝lnx－x＋－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意x1∈(0，2)，x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围为____________.答案　解析　问题等价于f(x)min≥g(x)max.f(x)＝lnx－x＋－1，所以f′(x)＝－－＝，令f′(x)>0得x2－4x＋3<0，解得12时，g(x)max＝g(2)＝4b－8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b<1，解第二个不等式组得1≤b≤，第三个不等式组无解.综上所述，b的取值范围是.5.满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________.答案　2解析　可设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得S△ABC＝x，由余弦定理计算得cosB＝，代入上式得S△ABC＝x＝.由得2－2α，则α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)，若函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，即y＝φ(x)在(e，＋∞)内有异号零点，所以β>e，又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋1<0，解得a>e＋－2，所以实数a的取值范围是(e＋－2，＋∞).8.已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围.解　(1)∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a，当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(lna，＋∞).(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成立.∵当x∈R时，ex>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值.解　(1)由题意得解得b＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|MN|＝＝＝.又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.由＝，解得k＝±1.所以k的值为1或－1.10.已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值.解　(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，依题意，有即由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.当q＝1时，不合题意.舍去；当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.(2)bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n.所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝－＝2n＋1－2－n－n2.因为Sn－2n＋1＋47<0，所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.因为n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.

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