2017年高考数学知识方法专题11《数学方法第50练 关于计算过程的再优化》

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2017年高考数学知识方法专题11《数学方法第50练 关于计算过程的再优化》文字介绍:第50练 关于计算过程的再优化[题型分析·高考展望] 中学数学的运算包括数的计算,式的恒等变形,方程和不等式同解变形,初等函数的运算和求值,各种几何量的测量与计算,求数列和函数、定积分、概率、统计的初步计算等.《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本,运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.数学运算,都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的,尤其是概念,它是思维的形式,只有概念明确、理解透彻,才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理.计算法则是计算方法的程序化和规则化,对法则的理解是计算技能形成的前提.高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查.因此在高中数学中,对于运算求解能力的培养至关重要.提高数学解题能力,首先是提高数学的运算求解能力,可以从以下几个方面入手:1.培养良好的审题习惯.2.培养认真计算的习惯.3.培养一些常用结论的记忆的能力,记住一些常用的结论,比如数列求和的公式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),三角函数中的辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+θ)等等.4.加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径,任何能力都是有计划、有目的地训练出来的,提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练.5.提高运算基本技能,必须要提高学生在运算中的推理能力,这就首先要清楚运算的定理及相关理论.6.增强自信是解题的关键,自信才能自强,在数学解题中,自信心是相当重要的.高考必会题型题型一 化繁为简,优化计算过程例1 过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于(  )A.B.-C.±D.-答案 B解析 由y=得,x2+y2=1(y≥0),设直线方程为x=my+,m<0(m≥0不合题意),代入x2+y2=1(y≥0),整理得,(1+m2)y2+2my+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=,则△AOB的面积为×|y1-y2|=|y1-y2|,因为|y1-y2|=====≤=,当且仅当=,即m2-1=2,m=-时取等号.此时直线方程为x=-y+,即y=-x+,所以直线的斜率为-.点评 本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式,先设出直线方程x=my+,表示出△AOB的面积,然后探讨面积最大时m的取值,得到直线的斜率.题型二 运用概念、性质等优化计算过程例2 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=________.答案 解析 如图,设|BF|=m,由题意知,m2+100-2×10mcos∠ABF=36,解得m=8,所以△ABF为直角三角形,所以|OF|=5,即c=5,由椭圆的对称性知|AF′|=|BF|=8(F′为右焦点),所以a=7,所以离心率e=.点评 熟练掌握有关的概念和性质是快速准确解决此类题目的关键.题型三 代数运算中加强“形”的应用,优化计算过程例3 设b>0,数列{an}满足a1=b,an=(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,an≤+1.(1)解 由a1=b>0,知an=>0,=+·.令An=,A1=,当n≥2时,An=+An-1=++…++A1=++…++.①当b≠2时,An==;②当b=2时,An=.综上,an=(2)证明 当b≠2时,(2n+1+bn+1)=(2n+1+bn+1)(bn-1+2bn-2+…+2n-1)=2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1=2nbn(++…++++…+)>2nbn(2+2+…+2),=2n·2nbn=n·2n+1bn,∴an=<+1.当b=2时,an=2=+1.综上所述,对于一切正整数n,an≤+1.点评 结合题目中an的表达式可知,需要构造an新的形式=+·,得到新的数列,根据新数列的形式求和;不等式的证明借用放缩完成.高考题型精练1.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是()A.0},则f(10x)>0的解集为(  )A.{x|x<-1或x>lg2}B.{x|-1-lg2}D.{x|x<-lg2}答案 D解析 由题意知,一元二次不等式f(x)>0的解集为(-1,),即-1<10x<⇒x<-lg2.4.设函数f(x)=则当x>0时,f(f(x))表达式的展开式中常数项为(  )A.-20B.20C.-15D.15答案 A解析 当x>0时,f[f(x)]=(-+)6=(-)6的展开式中,常数项为C()3(-)3=-20.5.在△ABC中,若=,则(  )A.A=CB.A=BC.B=CD.以上都不正确答案 C解析 ∵==,∴sinBcosC-cosBsinC=0.∴sin(B-C)=0.又∵-π0,b>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上.(1)求双曲线方程;(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点,且OP·OQ=0,求+的值.解 (1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,∴双曲线方程为-=1,即3x2-y2=3a2,∵点M(,)在双曲线上,∴15-3=3a2,∴a2=4,∴所求双曲线方程为-=1.(2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),联立-=1得∴|OP|2=x2+y2=.∵OP·OQ=0,∴直线OQ的方程为y=-x,同理可得|OQ|2=,∴+===.11.已知数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.解 (1)∵an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0),又a=-7,∴an=1+(n∈N*).结合函数f(x)=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)an=1+=1+,已知对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,结合函数f(x)=1+的单调性,可知5<<6,即-10<a<-8.12.若正数x,y满足x+2y+4=4xy,且不等式(x+2y)a2+2a+2xy-34≥0恒成立,求实数a的取值范围.解 ∵正实数x,y满足x+2y+4=4xy,即x+2y=4xy-4.不等式(x+2y)a2+2a+2xy-34≥0恒成立,即(4xy-4)a2+2a+2xy-34≥0恒成立,变形得2xy(2a2+1)≥4a2-2a+34恒成立,即xy≥恒成立.又∵x>0,y>0,∴x+2y≥2,∴4xy=x+2y+4≥4+2,即2()2--2≥0,∴≥或≤-(舍去),可得xy≥2.要使xy≥恒成立,只需2≥恒成立,化简得2a2+a-15≥0,解得a≤-3或a≥.故a的取值范围是(-∞,-3]∪[,+∞).

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