高考文科数学二轮专题复习题：《专题3 第1讲等差、等比数列的基本问题》

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高考文科数学二轮专题复习题：《专题3 第1讲等差、等比数列的基本问题》文字介绍:专题三　数列第1讲　等差、等比数列的基本问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于(　　)．A.　B．－　C．　D．－解析　设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.答案　C2．在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10等于(　　)．A．9　B．10　C．11　D．12解析　设等差数列{an}的公差为d，则有(a4＋a5)－(a2＋a3)＝4d＝2，所以d＝.又(a9＋a10)－(a4＋a5)＝10d＝5，所以a9＋a10＝(a4＋a5)＋5＝11.答案　C3．在正项等比数列{an}中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于(　　)．A．3或－1　B．9或1C．1　D．9解析　依题意，有3a1＋2a2＝a3，即3a1＋2a1q＝a1q2，解得q＝3，q＝－1(舍去)，＝＝＝9.答案　D4．(2014·郑州模拟)在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是(　　)．A.　B．－　C．±　D．±3解析　依题意得，a4＋a8＝4，a4a8＝3，故a4>0，a8>0，因此a6>0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a6＝＝.答案　A5．(2014·济南模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2014的值等于(　　)．A．－2011　B．－2012　　C．－2014　D．－2013解析　根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2014，公差d＝1，故＝－2014＋(2014－1)×1＝－1，所以S2014＝－2014.答案　C6．(2013·辽宁卷)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为(　　)．A．p1，p2　B．p3，p4　C．p2，p3　D．p1，p4解析　设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．答案　D7．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)．A．3　B．4　C．5　D．6解析　由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝2，am＋1＝3，所以d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.答案　C二、填空题8．(2013·新课标全国Ⅰ卷)若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an＝________.解析　当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－2，∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，故an＝(－2)n－1.答案　(－2)n－19．(2013·北京卷)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.解析　由题意q＝＝2，又a2＋a4＝20，故a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋1－2.答案　2　2n＋1－210．(2014·新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.解析　先求出数列的周期，再进一步求解首项，∵an＋1＝，∴an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝，∴a1＝.答案　11．设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝1且a1，a3，a6成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析　设公差为d，由a1，a3，a6成等比数列，可得(1＋2d)2＝1×(1＋5d)，解得d＝，所以Sn＝n＋×＝n2＋n.答案　n2＋n12．(2014·天津卷)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．解析　根据等差数列的前n项和公式求出S1，S2，S4的表达式，然后利用等比数列的性质求解．等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解方程得a1＝－.答案　－三、解答题13．(2014·北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.14．(2013·浙江卷)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.解　(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝15．(2014·杭州模拟)已知数列{an}是首项为，公比为的等比数列，设bn＋15log3an＝t，常数t∈N*.(1)求证：{bn}为等差数列；(2)设数列{cn}满足cn＝anbn，是否存在正整数k，使ck，ck＋1，ck＋2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由．(1)证明　an＝3－，bn＋1－bn＝－15log3＝5，∴{bn}是首项为b1＝t＋5，公差为5的等差数列．(2)解　cn＝(5n＋t)·3－，则ck＝(5k＋t)·3－，令5k＋t＝x(x>0)，则ck＝x·3－，ck＋1＝(x＋5)·3－，ck＋2＝(x＋10)·3－.①若c＝ck＋1ck＋2，则2＝(x＋5)·3－·(x＋10)·3－.化简得2x2－15x－50＝0，解得x＝10，x＝－(舍去)；进而求得k＝1，t＝5；②若c＝ckck＋2，同理可得(x＋5)2＝x(x＋10)，显然无解；③若c＝ckck＋1，同理可得(x＋10)2＝x(x＋5)，方程无整数根．综上所述，存在k＝1，t＝5适合题意．

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