高考文科数学二轮专题复习题:《专题3 第2讲 数列求和及数列的综合应用》

高考文科数学二轮专题复习题:《专题3 第2讲 数列求和及数列的综合应用》1 高考文科数学二轮专题复习题:《专题3 第2讲 数列求和及数列的综合应用》2 高考文科数学二轮专题复习题:《专题3 第2讲 数列求和及数列的综合应用》3 高考文科数学二轮专题复习题:《专题3 第2讲 数列求和及数列的综合应用》4 高考文科数学二轮专题复习题:《专题3 第2讲 数列求和及数列的综合应用》5
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高考文科数学二轮专题复习题:《专题3 第2讲 数列求和及数列的综合应用》文字介绍:第2讲 数列求和及数列的综合应用(建议用时:60分钟)一、选择题1.(2014·福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于(  ).A.8 B.10 C.12 D.14解析 利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解.由题意知a1=2,由S3=3a1+×d=12,解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12,故选C.答案 C2.数列{an}的通项公式an=,若{an}的前n项和为24,则n为().A.25 B.576 C.624 D.625解析 an==-(-),前n项和Sn=-[(1-)+(-)+…+(-)]=-1=24,故n=624.故选C.答案 C3.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  ).A.+ B.+C.+ D.n2+n解析 设等差数列{an}的公差为d,由已知得a=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),解得d=,故Sn=2n+×=+.答案 A4.在等差数列{an}中,a1=142,d=-2,从第一项起,每隔两项取出一项,构成新的数列{bn},则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是(  ).A.23 B.24 C.25 D.26解析 因为从第一项起,每隔两项取出一项,构成数列{bn},所以新数列的首项为b1=a1=142,公差为d′=-2×3=-6,则bn=142+(n-1)(-6).令bn≥0,解得n≤24,因为n∈N*,所以数列{bn}的前24项都为正数项,从25项开始为负数项.因此新数列{bn}的前24项和取得最大值.故选B.答案 B5.已知各项都为正的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为(  ).A. B. C. D.解析 由a7=a6+2a5,得a1q6=a1q5+2a1q4,整理有q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾,舍去),又由=4a1,得aman=16a,即a2m+n-2=16a,即有m+n-2=4,亦即m+n=6,那么+=(m+n)=≥=,当且仅当=,即n=2m=4时取得最小值.答案 A6.Sn是等比数列{an}的前n项和,a1=,9S3=S6,设Tn=a1a2a3…an,则使Tn取最小值的n值为(  ).A.3 B.4 C.5 D.6解析 设等比数列的公比为q,故由9S3=S6,得9×=,解得q=2,故=an=×2n-1,易得当n≤5时,<1,即TnTn-1,据此数列单调性可得T5为最小值.答案 C7.已知数列{an}的通项公式是an=-n2+12n-32,其前n项和是Sn,对任意的m,n∈N*且m0,Sn随n的增加而增大,S7=S8,当n>8时an<0,Sn随n的增加而减小,故Sn-Sm≤S8-S4=a5+a6+a7+a8=a5+a6+a7=10.答案 D二、填空题8.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=________.解析 由已知得②-①得a1q2+a1q3=3a1q(q2-1),即2q2-q-3=0.解得q=或q=-1(舍).答案 9.在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为________.解析 在递推公式an+1=2an+3×5n的两边同时除以5n+1,得=×+,①令=bn,则①式变为bn+1=bn+,即bn+1-1=(bn-1),所以数列{bn-1}是等比数列,其首项为b1-1=-1=-,公比为.所以bn-1=×n-1,即bn=1-×n-1=,故an=5n-3×2n-1.答案 an=5n-3×2n-110.(2013·陕西卷)观察下列等式12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律,第n个等式可为________.解析 左边为平方项的(-1)n+1倍的和,右边为(1+2+3+…+n)的(-1)n+1倍.答案 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·11.设y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)=________.解析 设f(x)=kx+b(k≠0),又f(0)=1,所以b=1,即f(x)=kx+1(k≠0).由f(1),f(4),f(13)成等比数列,得f2(4)=f(1)·f(13),即(4k+1)2=(k+1)(13k+1).因为k≠0,所以k=2,所以f(x)=2x+1,所以f(2)+f(4)+…+f(2n)=5+9+…+4n+1==n(2n+3).答案 n(2n+3)12.(2014·临沂模拟)设Sn为数列{an}的前n项和,若(n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”;若数列{cn}是首项为2,公差为d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,则d=________.解析 由题意可知,数列{cn}的前n项和为Sn=,前2n项和为S2n=,所以==2+=2+.因为数列{cn}是“和等比数列”,即为非零常数,所以d=4.答案 4三、解答题13.(2013·江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足:S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<.(1)解 由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0,由于{an}是正项数列,所以Sn+1>0.所以Sn=n2+n.n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,n=1时,a1=S1=2适合上式.∴an=2n.(2)证明 由an=2n,得bn===Tn==<=.14.(2014·四川卷)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.解 (1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=4×2a7=2a7+2.解得d=a8-a7=2.所以Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意知,a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1,从而an=n,bn=2n.所以Tn=+++…++,2Tn=+++…+.因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.所以Tn=.15.(2013·天津卷)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn=Sn-(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{an}的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2==.又{an}不是递减数列且a1=,所以q=-.故等比数列{an}的通项公式为an=×n-1=(-1)n-1·.(2)由(1)得Sn=1-n=当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1Sn-≥S2-=-=-.综上,对于n∈N*,总有-≤Sn-≤.所以数列{Tn}最大项的值为,最小项的值为-.

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