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高考文科数学二轮专题复习题：《专题4 第1讲三视图及空间几何体的计算问题》

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高考文科数学二轮专题复习题：《专题4 第1讲三视图及空间几何体的计算问题》文字介绍:专题四　立体几何第1讲　三视图及空间几何体的计算问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)．A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析　由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)且内有一个虚线(一个顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.答案　D2．(2013·东北三校第三次模拟)如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是(　　)．解析　注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线，从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.答案　D3．(2014·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)．A．21＋B．18＋C．21D．18解析　由三视图知，几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×2×2－6××1×1＋2××()2＝21＋.答案　A4．(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(　　)．A．4B．C．D．6解析　由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V＝(12＋＋22)×2＝，故选B.答案　B5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD正视图和俯视图如图，则三棱锥ABCD侧视图的面积为(　　)．A.B．C．D．解析　由正视图及俯视图可得，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧视图是腰长为＝的等腰直角三角形，其面积为×2＝.答案　B6．在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为(　　)．A．13B．7＋3C．πD．14解析　由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱．由图象可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14.答案　D7．(2013·湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于(　　)．A.B．1C．D．解析　易知正方体是水平放置的，又侧视图是面积为的矩形．所以正方体的对角面平行于投影面，此时正视图和侧视图相同，面积为.答案　D二、填空题8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．解析　由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成．其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.答案　16＋8π9．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.解析　设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝×S·h＝Sh＝V2，即V1∶V2＝1∶24.答案　1∶2410．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．解析　利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1－EDF＝VF－DD1F＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.答案　11．(2014·重庆卷改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析　由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，直角梯形ABPA1的面积为×(2＋5)×4＝14，计算可得A1P＝5.直角梯形BCC1P的面积为×(2＋5)×5＝.因为A1C1⊥平面A1ABP，A1P⊂平面A1ABP，所以A1C1⊥A1P，故Rt△A1PC1的面积为×5×3＝.又Rt△ABC的面积为×4×3＝6，矩形ACC1A1的面积为5×3＝15，故几何体ABC－A1PC1的表面积为14＋＋＋6＋15＝60.答案　6012．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为________．解析　在Rt△ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝.同理，SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，AD＝BD，故SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形．因为∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1×＝，则三棱锥S－ABC的体积为××2＝.答案　三、解答题13．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解　由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥EABCD，AB＝8，BC＝6.(1)V＝×8×6×4＝64.(2)四棱锥EABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝＝4；另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝＝5.因此S＝2×＝40＋24.14．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．(1)证明：直线E′F′垂直直分线段AD；(2)若∠EAD＝∠EAB＝60°，EF＝2.求多面体ABCDEF的体积．(1)证明　∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，∴E′D＝E′A，∴点E′在线段AD的垂直平分线上．同理，点F′在线段BC的垂直平分线上．又四边形ABCD是正方形，∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上．∴直线E′F′垂直直分线段AD.(2)解　如图，连接EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E-ABCD和正四面体EBCF两部分．设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝，∴EE′＝.∴VEABCD＝·S正方形ABCD·EE′＝×22×＝.又VEBCF＝VCBEF＝VCBEA＝VEABC＝S△ABC·EE′＝××22×＝，∴多面体ABCDEF的体积为VEABCD＋VEBCF＝2.15．(2013·广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VFDEG.(1)证明　在等边三角形ABC中，AB＝AC.∵AD＝AE，∴＝，∴DE∥BC，∴DG∥BF，如图2，DG⊄平面BCF，∴DG∥平面BCF.同理可证GE∥平面BCF.∵DG∩GE＝G，∴平面GDE∥平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)证明　在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥FC，∴BF＝FC＝BC＝.在图2中，∵BC＝，∴BC2＝BF2＋FC2，∴∠BFC＝90°，∴FC⊥BF.∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)解　∵AD＝，∴BD＝，AD∶DB＝2∶1，在图2中，AF⊥FC，AF⊥BF，∴AF⊥平面BCF，由(1)知平面GDE∥平面BCF，∴AF⊥平面GDE.在等边三角形ABC中，AF＝AB＝，∴FG＝AF＝，DG＝BF＝×＝＝GE，∴S△DGE＝DG·EG＝，∴VF－DEG＝S△DGE·FG＝.

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