2015东北三省三校第一次模拟联考数学(文科)试题+参考答案

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2015东北三省三校第一次模拟联考数学(文科)试题+参考答案文字介绍:东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1.已知集合若则等于(  )A.1     B.2     C.3      D.1或22.复数( )A.B.C.D.3.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则“”是“”的()A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.向量满足则向量与的夹角为()A.   B.    C.      D.5.实数是上的随机数,则关于的方程有实根的概率为()A. B.   C.  D.6.已知三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积是()A.        B.  C.       D.7.椭圆两个焦点分别是,点是椭圆上任意一点,则的取值范围是()A.B.C.D.8.半径为1的球面上有四个点A,B,C,D,球心为点O,AB过点O,,,,则三棱锥的体积为()A.     B. C.    D.9.已知数列满足,则=()A.B.C.D.10.执行如图所示的程序框图,要使输出的的值小于1,则输入的值不能是下面的(  )A.8B.9C.10D.1111.若函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是()开始结束输入t0S1k3sinkSStk1kk输出S否是(第10题图)(第6题图)22222正视图侧视图俯视图A.B.C.D.12.函数的零点个数为(  )  A.9     B.10C.11D.12第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二.填空题(本大题共4小题,每小题5分.)13.若等差数列中,满足,则=_________.14.若变量满足约束条件,则的最小值为.15.已知双曲线C:,点P与双曲线C的焦点不重合.若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B,点Q在双曲线C的上支上,点P关于点Q的对称点为,则=____.16.若函数满足:(ⅰ)函数的定义域是;(ⅱ)对任意有;(ⅲ).则下列命题中正确的是_____.(写出所有正确命题的序号)①函数是奇函数;②函数是偶函数;③对任意,若,则;④对任意,有.三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分12分)已知的面积为且满足设和的夹角为.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)求函数的值域.0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008频率组距空气污染指数()050100150200DCBAFE18.(本题满分12分)空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:)为时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染;当空气污染指数为时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气污染指数为以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.2015年1月某日某省个监测点数据统计如下:空气污染指数(单位:)监测点个数154010(Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值,并完成频率分布直方图;(Ⅱ)若A市共有5个监测点,其中有3个监测点为轻度污染,2个监测点为良.从中任意选取2个监测点,事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?19.(本题满分12分)如图,多面体中,底面是菱形,,四边形是正方形,且平面.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若,求多面体的体积.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系中,已知动圆过点,且被轴所截得的弦长为4.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;(Ⅱ)过点分别作斜率为的两条直线,交于两点(点异于点),若,且直线与圆相切,求△的面积.21.(本题满分12分)已知实数为常数,函数.(Ⅰ)若曲线在处的切线过点A,求实数值;(Ⅱ)若函数有两个极值点.①求证:;②求证:,.请从下面所给的22,23,24三题中任选一题做答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。请考生在第22,23,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,在中,,以为直径的圆交于点,点是边的中点,连接交圆于点.(Ⅰ)求证:是圆的切线;(Ⅱ)求证:.23.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是(为参数).(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(Ⅱ)设点,若直线与曲线交于两点,且,求实数的值.24.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数.(Ⅰ)解不等式;CDMOBEA(Ⅱ)若,使得,求实数的取值范围.东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试文科数学试题参考答案一、选择题123456789101112DACCBBCACADD二.填空题13.403014.-615.-1616.②③④三.解答题17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设中角的对边分别为,则由已知:,,……4分可得,所以:.……6分(Ⅱ).……8分,,.即当时,;当时,.所以:函数的值域是……12分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)……2分0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008频率组距空气污染指数()050100150200DCBAFE……5分(Ⅱ)设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1,2,3,空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种,……8分其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种,……10分所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是.……12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明:是菱形,.又平面,平面,平面.……2分又BDEF是正方形,.平面,平面,平面.……4分平面,平面,,平面平面.由于平面,知平面.……6分(Ⅱ)解:连接AC,记ACBDO.ABCD是菱形,ACBD,且.由平面,平面,.平面,平面,,平面于,即AO为四棱锥ABDEF的高.……9分由ABCD是菱形,,则为等边三角形,由,则,,,,.……12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设动圆圆心坐标为,半径为,由题可知;动圆圆心的轨迹方程为……4分(Ⅱ)设直线斜率为,则点P(1,2)在抛物线上设,恒成立,即有代入直线方程可得……6分同理可得……7分……9分不妨设.因为直线与圆相切,所以解得或1,当时,直线过点,舍当时,由;到直线的距离为,△的面积为.……12分21.(本小题满分12分)(Ⅰ)解:由已知:,切点……1分切线方程:,把代入得:……3分(Ⅱ)①证明:依题意:有两个不等实根设则:(ⅰ)当时:,所以是增函数,不符合题意;……5分(ⅱ)当时:由得:列表如下:0↗极大值↘=,解得:……8分(注:以下证明为补充证明此问的充要性,可使其证明更严谨,以此作为参考,学生证明步骤写出上述即可)方法一:当且时,,当且时在上必有一个零点.当时,设,+0-↗极大值↘时,即时,设,由,时,在上有一个零点综上,函数有两个极值点时,得证.方法二有两个极值点,即有两个零点,即有两不同实根.设,,当时,;当时,+0-↗极大值↘当时有极大值也是最大值为,,故在有一个零点当时,且时综上函数有两个极值点时,得证.②证明:由①知:变化如下:0+0↘极小值↗极大值↘由表可知:在上为增函数,又,故……10分所以:即,.……12分22.选修4-1:几何证明选讲证明:(Ⅰ)连结.∵点是的中点,点是的中点,∴,∴.∵,∴,∴.……2分在和中,∵,,,∴≌,……4分∴,即.∵是圆上一点,∴是圆的切线.……5分(Ⅱ)延长交圆于点.∵≌,∴.∵点是的中点,∴.∵是圆的切线,∴.∴.……7分∵,∴.∵是圆的切线,是圆的割线,∴,∴……10分23.选修4-4:坐标系与参数方程解:(Ⅰ)由,得:,∴,即,∴曲线的直角坐标方程为.……2分由,得,即,∴直线的普通方程为.……5分(Ⅱ)将代入,得:,整理得:,由,即,解得:.设是上述方程的两实根,则,……7分FCDMOBEA又直线过点,由上式及的几何意义得,解得:或,都符合,因此实数的值为或或.分24.选修4-5:不等式选讲解:(Ⅰ)当时,,,即,解得,又,∴;当时,,,即,解得,又,∴;当时,,,即,解得,又,∴.……3分综上,不等式的解集为.……5分(Ⅱ),∴.……7分∵,使得,∴,整理得:,解得:,因此的取值范围是.……10分

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