2015东北三省三校高三第一模拟联考数学(理科)试题+参考答案

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2015东北三省三校高三第一模拟联考数学(理科)试题+参考答案文字介绍:东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、已知集合,,则()A.B.C.D.2、复数()A.B.C.D.3、点到抛物线准线的距离为,则的值为()A.B.C.或D.或4、设是公差不为零的等差数列的前项和,且,若,则当最大时,()A.B.C.D.5、执行如图所示的程序框图,要使输出的值小于,则输入的值不能是下面的()A.B.C.D.6、下列命题中正确命题的个数是()①对于命题,使得,则,均有②是的必要不充分条件,则是的充分不必要条件③命题“若,则”的逆否命题为真命题④“”是“直线与直线垂直”的充要条件A.个B.个C.个D.个7、如图,网格纸上小正方形的边长为,若粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.B.C.D.8、设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,焦点到一条渐近线的距离为,若,则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.9、不等式组表示的点集记为,不等式组表示的点集记为,在中任取一点,则的概率为()A.B.C.D.10、设二项式()展开式的二项式系数和与各项系数和分别为,,则()A.B.C.D.11、已知数列满足,若数列的最小项为,则的值为()A.B.C.D.12、已知函数,若函数有且只有两个零点则的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13、向量,满足,,,则向量与的夹角为.14、三棱柱各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,,,,则这个球的表面积为.15、某校高一开设4门选修课,有4名同学,每人只选一门,恰有2门课程没有同学选修,共有种不同选课方案(用数字作答).16、已知函数()的图象关于直线对称则.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17、(本小题满分12分)已知的面积为,且满足,设和的夹角为.求的取值范围;求函数的取值范围.18、(本小题满分12分)为调查市民对汽车品牌的认可度,在秋季车展上,从有意购车的500名市民中,随机抽样100名市民,按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2.频率分布表中的①②位置应填什么数?并补全频率分布直方图,再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄;在抽出的100名市民中,按分层抽样法抽取20人参加宣传活动,从这20人中选取2名市民担任主要发言人,设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为,求的分布列及数学期望.19、(本小题满分12分)如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形,底面,、分别为、的中点.求证:平面;若,试问在线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由.20、(本小题满分12分)已知椭圆()的左、右焦点为、,点在椭圆上,且与轴垂直.求椭圆的方程;过作直线与椭圆交于另外一点,求面积的最大值.21、(本小题满分12分)已知是实常数,函数.若曲线在处的切线过点,求实数的值;若有两个极值点,(),求证:;求证:.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,在中,,以为直径的圆交于点,点是边的中点,连接交圆于点.求证:是圆的切线;求证:.23、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是(为参数).求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;设点,若直线与曲线交于,两点,且,求实数的值.24、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数.解不等式;若,使得,求实数的取值范围.东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一.选择题:1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A10.C11.B12.C二.填空题:13.90014.6415.8416.三.解答题:17.解:(Ⅰ)设中角的对边分别为,则由已知:,,分可得,所以:.分(Ⅱ).分,,.即当时,;当时,.所以:函数的取值范围是分18.解:(1)由表知:①,②分别填.补全频率分布直方图如下:分分平均年龄估值为:(岁)分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,的可能取值为0,1,2年龄(岁)0.010.020.030.040.050.060.070.080.0920253035404550频率组距分的分布列为012分期望(人)分19.证明:(Ⅰ)取中点,连接,在△中,为的中点,,正方形中为中点,,故:为平行四边形分又平面,平面平面分(Ⅱ)如图:以点为坐标原点建立空间直角坐标系:由题易知平面的法向量为,分假设存在满足条件:设,设平面的法向量为,分由已知:解得:所以:满足条件的存在,是中点。分20.(1)有已知:,故椭圆方程为分(2)当斜率不存在时:分当斜率存在时:设其方程为:由得由已知:即:分到直线的距离:分此时综上所求:当斜率不存在或斜率为零时:面积取最大值为分21.解(1)由已知:,切点分切线方程:,把代入得:分(2)(Ⅰ)依题意:有两个不等实根设则:①当时:,所以是增函数,不符合题意;分②当时:由得:列表如下:0↗极大值↘依题意:,解得:综上所求:得证;分(Ⅱ)由(Ⅰ)知:变化如下:0+0↘↗↘由表可知:在上为增函数,所以:分又,故由(Ⅰ)知:,设,则成立,所以单调递减,故:,也就是综上所证:成立.分22.选修4-1:几何证明选讲证明:(Ⅰ)连结.∵点是的中点,点是的中点,∴,∴.∵,∴,∴.分在和中,∵,,,∴≌,∴,即.∵是圆上一点,∴是圆的切线.分(Ⅱ)延长交圆于点.∵≌,∴.∵点是的中点,∴.∵是圆的切线,∴.∴.分∵,∴.∵是圆的切线,是圆的割线,∴,∴分23.选修4-4:坐标系与参数方程解:(Ⅰ)由,得:,∴,即,∴曲线的直角坐标方程为.分由,得,即,∴直线的普通方程为.分(Ⅱ)将代入,得:,整理得:,由,即,解得:.设是上述方程的两实根,则,分又直线过点,由上式及的几何意义得,解得:或,都符合,因此实数的值为或或.分24.选修4-5:不等式选讲解:(Ⅰ)当时,,,即,解得,又,∴;当时,,,即,解得,又,∴;当时,,,即,解得,又,∴.分综上,不等式的解集为.分(Ⅱ),∴.分∵,使得,∴,整理得:,解得:,因此的取值范围是.分

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