2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点5《立体几何》

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2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点5《立体几何》文字介绍:2010-2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷数学Ⅰ试题2011.15、设,为互不重合的平面,,mn为互不重合的直线,给出下列四个命题:①若,,mnmn则;②若,,mnm∥,n∥,则∥;③若,,,,mnnmn则;④若,,//,//mmnn则.其中所有正确命题的序号是▲答案:①③15、(本题满分14分)如图,在直三棱柱111ABCABC中,090ACB,,,EFG分别是11,,AAACBB的中点,且1CGCG.(Ⅰ)求证://CGBEF平面;(Ⅱ)求证:平面BEF平面11ACG.答案15、证:(Ⅰ)连接AG交BE于D,连接,DFEG.∵,EG分别是11,AABB的中点,∴AE∥BG且AE=BG,∴四边形AEGB是矩形.∴D是AG的中点…………………………………………………………………………(3分)又∵F是AC的中点,∴DF∥CG………………………………………………………(5分)则由DFBEF面,CGBEF面,得CG∥BEF面…………………………………(7分)(注:利用面面平行来证明的,类似给分)(Ⅱ)∵在直三棱柱111ABCABC中,1CC⊥底面111ABC,∴1CC⊥11AC.又∵011190ACBACB,即11CB⊥11AC,∴11AC⊥面11BCCB……………(9分)而CG面11BCCB,∴11AC⊥CG………………………………(11分)又1CGCG,由(Ⅰ)DF∥CG,111,ACDFDFCG∴DF平面11ACG………………………………………(13分)1A1C1BEFGACBDF平面BEF,∴平面BEF平面11ACG.……………………………(14分)二、必答题:本大题共2小题,共20分,请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明步骤或演算步骤.5.如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面角A-BE-C的余弦值.解:(1)以O为原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).200010210021EBAC(,,)(,,)(,,),(,,),……………………2分cos<,EBAC>22555. ………………………………4分由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,故其余弦值是25.………………5分(2)(201)AB,,,(011)AE,,,设平面ABE的法向量为1()xyz,,n,则由1ABn,1AEn,得20,0.xzyz目取n=(1,2,2),平面BEC的一个法向量为n2=(0,0,1), ………………………………7分12121222cos||||3144,nnnnnn.……9分由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角,其余弦值是-23.……10分江苏省2010高考数学模拟题(压题卷)二、2.如图,四边形ABCD为矩形,BC⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;(2)设点M为线段AB的中点,点N为线段CE的中点,求证:MN//平面DAE.解:(1)因为BC平面ABE,AE平面ABE,所以AEBC,又BF平面ACE,AE平面ACE,所以AEBF,AOECB(第5题)又BFBC=B,所以AE平面BCE,又BE平面BCE,所以AEBE.(2)如图所示,取DE的中点P,连结PA,PN,因为点N为线段CE的中点.所以PN//DC,且12PNDC,又四边形ABCD是矩形,点M为线段AB的中点,所以AM//DC,且12AMDC,所以PN//AM,且PN=AM,故AMNP是平行四边形,所以MN//AP,而AP平面DAE,MN平面DAE,所以MN//平面DAE.七、理科附加题1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点E是AB上一点,AE等于何值时,二面角P-EC-D的平面角为4.解:以D为原点,射线DA、DC、DP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(0,2,0),设E(1,y0,0),则0(1,2,0)ECy,设平面PEC的法向量为1(,,)nxyz,1010,(2)0,20,0,nECxyyyznPC解之得0::(2):1:2xyzy,记10(2,1,2)ny,而平面ECD的法向量2(0,0,1)n,二面角P-EC-D的平面角12,4nn,122221202cos(2)121nnnny22,023yAE.当23AE时,二面角P-EC-D的平面角为4.2011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题二、解答题:(本大题共6个小题,共90分.)16(本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,E,F分别是AB,BC的中点.(I)求证:EF∥平面A1BC1;(Ⅱ)求证:平面D1DBB1⊥平面A1BC1.证明:(Ⅰ)连接AC,则AC∥A1C1,而E,F分别是AB,BC的中点,所以EF∥AC,则EF∥A1C1,又∵11AC平面A1BC1,EF平面A1BC1故EF∥平面A1BC1………………………7分(Ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1所以BB1⊥A1C1,又A1C1⊥B1D1,BB1B1D1=B1,BB1,B1D1平面D1DBB1则A1C1⊥平面D1DBB1…………………………………12分又11AC平面A1BC1,所以平面D1DBB1平面A1BC1…………14分附加题,必做题23.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D为侧棱AA1的中点.(1)求异面直线DC1,B1C所成角的余弦值;(2)求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值.解:(1)如图所示,以C为原点,CA、CB、CC1为坐标轴,建立空间直角坐标系C-xyz.则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),D(2,0,1).所以DC1=(-2,0,1),B1C=(0,-2,-2).……………2分所以cos===-.即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为.…………………………4分(2)因为CB=(0,2,0),CA=(2,0,0),CC1=(0,0,2),所以CB·CA=0,CB·CC1=0,所以CB为平面ACC1A1的一个法向量.…………………………6分A1B1C1ABCD1DEF第15题ABCA1B1C1D(第23题)ABCA1B1C1Dxzy因为B1C=(0,-2,-2),CD=(2,0,1),设平面B1DC1的一个法向量为n,n=(x,y,z).由得令x=1,则y=2,z=-2,n=(1,2,-2).……………………………8分所以cos===.所以二面角B1-DC-C1的余弦值为.……………………………10分江苏省淮州中学2010—2011学年度第一学期中考试高三数学试卷15.(本小题满分14分)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC,AB=2,CE=EF=1(Ⅰ)求证:AF//平面BDE;(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;证明:(Ⅰ)设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1,AG=12AG=1所以四边形AGEF为平行四边形所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE(Ⅱ)连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.[来源:学科网]江苏连云港市2011届高三上学期第一次调研考试(数学)数学Ⅰ试题11.如图,三棱柱111ABCABC的所有棱长均等于1,且1160AABAAC,则该三棱柱的体积是▲.BADCFE(第16题)答案:24二、解答题16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥EABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,90AEB,BEBC,F为CE的中点,求证:(1)AE∥平面BDF;(2)平面BDF平面ACE.证明:(1)设ACBDG,连接FG,易知G是AC的中点,∵F是EC中点.∴在△ACE中,FG∥AE,…………2分∵AE平面BFD,FG平面BFD,∴AE∥平面BFD.………………………………6分(2)平面ABCD平面ABE,BCAB,平面ABCD平面ABEABBC平面ABE,又AE平面,ABEBCAE,又AEBE,BCBEB,AE平面,BCEAEBF,……………………………10分在BCE△中,,BECBF为CE的中点,BFCE,AECEEBF平面ACE,ABCA1B1C1(第11题)GBADCFE又BF平面BDF,平面BDF平面ACE.………14分2011届江苏高考数学权威预测题3、半径为1的半球的表面积为▲.答案:53二、解答题16、(14分)如图,已知正四面体ABCD的棱长为3cm.(1)求证:AD⊥BC;(2)已知点E是CD的中点,点P在△ABC的内部及边界上运动,且满足EP∥平面ABD,试求点P的轨迹;(3)有一个小虫从点A开始按以下规则前进:在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一,并且沿着这条棱爬到尽头,当它爬了12cm之后,求恰好回到A点的概率.解:(1)取BC中点M,连AM,DM.因△ABC及△BCD均为正三角形,故BC⊥AM,BC⊥DM.因AM,DM为平面ADM内的两条相交直线,故BC⊥平面ADM,于是BC⊥AD.…4分(2)连接EM,并取AC的中点Q,连QE,QM.于是EQ∥AD,故EQ∥平面ABD.同理MQ∥平面ABD.因EQ,MQ为平面QEM内的两条相交直线,故平面QEM∥平面ABD,从而点P的轨迹为线段QM.……………………8分(3)依题设小虫共走过了4条棱,每次走某条棱均有3种选择,故所有等可能基本事件总数为34=81.……………………10分走第1条棱时,有3种选择,不妨设走了AB,然后走第2条棱为:或BA或BC或BD.若第2条棱走的为BA,则第3条棱可以选择走AB,AC,AD,计3种可能;若第2条棱走的为BC,则第3条棱可以选择走CB,CD,计2种可能;同理第2条棱走BD时,第3棱的走法亦有2种选择.……………………12分故小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×(3+2+2)=21种可能.于是,所求的概率为2178127.……………………14分江苏省2011年高考数学模拟题三、立体几何题4、如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,PD=PA,E、F分别是AB、PD的中点。ABCD(1)求证:AF∥平面PCE;(2)求证:平面PCE⊥平面PCD。证明:(1)取PC中点G,连接FG、EG。因为F、G分别为PD、PC的中点,所以FG∥CD且FG=CD,又AE∥CD且AE=CD,所以,FG∥AE且FG=AE,四边形AEGF为平行四边形,因此,AF∥EG,又AF⊄平面PCE,所以AF∥平面PCE。(2)由PA⊥平面ABCD,知PA⊥CD,又CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,CD⊥AF。又PA⊥AD,F为PD的中点,则AF⊥PD,因此,AF⊥平面PCD。而AF∥EG,故EG⊥平面PCD,又EG⊂平面PCE,所以,平面PCE⊥平面PCD。八、空间向量题(理科附加)12、如图,正棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4,D为CC1中点,(1)求证:AB1⊥平面A1BD;(2)求二面角A-A1D-B的大小。解:(1)取BC中点O,连接AO,取B1C1中点O1,以O为原点,如图建立空间直角坐标系O-xyz,则B(2,0,0),D(-2,2,0),A1(-4,2,2),A(0,0,2),B1(2,4,0),AB1=(2,4,-2),BD=(-4,2,0),BA1=(2,4,2),∵AB1·BD=0,AB1·BA1=0,∴AB1⊥BD,AB1⊥BA1,∴AB1⊥平面A1BD。(2)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z),AD=(-2,2,-2),AA1=(0,4,0)。n⊥AD,n⊥AA1,∴,令z=1,得n=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量,[来源:学&科&网Z&X&X&K]由(1)AB1=(2,4,2)为平面A1BD的法向量,得cos=,∴所以二面角A-A1D-B的大小为arccos。GPABCDFE13、如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=CD,E是PC的中点。(1)证明PA平面BDE;(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值;(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论。解:(1)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PD=CD=2,则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),PA=(2,0,-2),DE=(0,1,1),DB=(2,2,0)。设n=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量,则由,得;取=-1,n1=(1,-1,1),∵·n=2-2=0,∴PA⊥n1,又PA⊄平面BDE,∴PA∥平面BDE。(2)由(1)知n1=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又n2=DA=(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。设二面角B-DE-C的平面角为θ,由图可知θ=,∴cosθ=cos===,故二面角B-DE-C余弦值为。(3)∵PB=(2,2,-2),DE=(0,1,1),∴PB·DE=0+2-2=0,∴PB⊥DE。假设棱PB上存在点F,使PB平面DEF,设PF=λPB(0<λ<1),则PF=(2λ,2λ,-2λ),DF=DP+PF=(2λ,2λ,2-2λ),由PF·DF=0得4λ2+4λ2-2λ(2-2λ)=0,∴λ=∈(0,1),此时PF=PB,即在棱PB上存在点F,PF=PB,使得PB⊥平面DEF。2011年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学(必试部分)16.(本小题满分14)如图,已知AB平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.⑴求证:AF//平面BCE;⑵求证:平面BCE平面CDE.ABCDEF16题图加试必做题22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA底面ABCD,点M是棱PC的中点,AM平面PBD.⑴求PA的长;⑵求棱PC与平面AMD所成角的正弦值.江苏省安宜高级中学10-11年度高三B部数学复习资料期末综合练习(二)[来源:学+科+网Z+X+X+K]16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是菱形,PBPD,且E,F分别是BC,CD的中点.求证:(1)EF∥平面PBD;(2)平面PEF⊥平面PAC.证明(1)因为E,F分别是BC,CD的中点,所以EF∥BD,……………………………2分因为EF平面PBD,BD平面PBD,所以EF∥平面PBD.………………………6分(2)设BD交AC于点O,连结PO,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC,O是BD中点,又PBPD,所以BD⊥PO,又EF∥BD,所以EF⊥AC,EF⊥PO.…………………10分又ACPOO,AC平面PAC,PO平面PAC,所以EF⊥平面PAC.…………………………………………12分因为EF平面PEF,所以平面PEF⊥平面PAC.………………………………………14分PBCDAMP(第16题图)ABCEFD(第16题图)PABCEFO江苏常州三中高三数学期末模拟试题[来源:学科网]5.已知四棱锥PABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两对角线的交点,若3AB,4PB,则PA长度的取值范围为.16.多面体ABCDE中,1AEACBCAB,2CD,ABCAE面,CDAE//.(1)求证:BCDAE面//;(2)求证:BCDBED面面.16、证明:(1)∵CDAE//BCDAE面∴BCDAE面//……4分(2)令BC中点为N,BD中点为M,连结MN、EN∵MN是BCD的中位线∴CDMN//……6分又∵CDAE//∴MNAE//∴ABCMN面……8分∴ANMN∵ABC为正∴BCAN……10分∴BCDAN面又∵1MNAE,MNAE//∴四边形ANME为平行四边形……12分∴BCDEN面∴BCDBED面面……14分江苏省常州市2011届高三上学期调研试题(数学)CBAC1B1A1C2B2A2ABCDEF(第16题)图)5.一个几何体的俯视图是一个圆,用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4的平行四边形,则该几何体的体积为___________.72或4817.(15)如图所示的几何体由斜三棱柱111CBAABC和111222CBACBA组成,其斜三棱柱111CBAABC和111222CBACBA满足11AABB1122ABBA、11BBCC1122BCCB、11CCAA1122CAAC。(1)证明:112CAAA;(2)证明:ABCAA面2;[来源:学,科,网Z,X,X,K](3)若1AAACAB,90CAB,ABCBAA面面1.问:侧棱1AA和底面ABC所成的角是多少度时,21CA∥11BBCC面.17、(1)证明:取2AA的中点T,连接TA1、TC1,∵11CCAA1122CAAC∴211211,ACACAAAA∴TCAATAAA1212,.若1A、1C、T共线,易知112CAAA;若1A、1C、T不共线,TCAAA112面∴112CAAA(2)证明:同(1)可证明TCBAA112面,∵11TAC面与TCB11面过公共点T,所以11TAC面与TCB11面重合.即111CBA面∥ABC面∴ABCAA面2(3)3江苏省常州市2011届高三复习迎考试卷数学试题Ⅰ16.(本小题满分14分)如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD,DE=2AB,F为CD的中点.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求证:平面BCE⊥平面CDE.ABCC1B1A1FDxyz【证明】(1)因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE.取CE的中点G,连结BG、GF,因为F为CD的中点,所以GF∥ED∥BA,GF=12ED=BA,从而ABGF是平行四边形,于是AF∥BG.……………………4分因为AF平面BCE,BG平面BCE,所以AF∥平面BCE.……………………7分(2)因为AB⊥平面ACD,AF平面ACD,所以AB⊥AF,即ABGF是矩形,所以AF⊥GF.……………………9分又AC=AD,所以AF⊥CD.…………………11分而CD∩GF=F,所以AF⊥平面GCD,即AF⊥平面CDE.因为AF∥BG,所以BG⊥平面CDE.因为BG平面BCE,所以平面BCE⊥平面CDE.…………………14分江苏省常州市2011届高三复习迎考试卷数学试题Ⅱ(附加题)23.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=2,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF?(2)设AF=1,求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.【解】(1)因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥面ABC,∠ABC=π2.以B点为原点,BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.因为AC=2,∠ABC=90º,所以AB=BC=,从而B(0,0,0),A200,,,C020,,,B1(0,0,3),A1203,,,C1023,,,D22322,,,E23022,,.所以1223CA,,,设AF=x,则F(,0,x),112222203022CFxBFxBD,,,,,,,,.1222(2)0022CFBDx,所以1.CFBD要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F.由1CFBF=2+x(x-3)=0,得x=1或x=2,故当AF=1或2时,CF⊥平面B1DF.………………5分(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1=(0,0,1).设平面B1CF的法向量为(,,)xyzn,则由100CFBF,,nn得220220xyzxz,,令z=1得32212,,n,所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值1301cos.1591212,nn…………………10分江苏省常州市北郊中学2011届高三上学期统一练习(数学)二、解答题17.如图,在边长为1的正三角形ABC中,,EF分别是边,ABAC上的点,若,AEmABAFnAC,,(0,1)mn.设EF的中点为M,BC的中点为N.⑴若,,AMN三点共线,求证mn;⑵若1mn,求||MN的最小值.17.⑴证明:由,,AMN三点共线,得//AMAN,…………………………2分设AMANR,即11()()22AEAFABAC,……………………4分所以()mABnACABAC,所以mn.…………………………6分⑵因为[来源:学科网ZXXK]MNANAM=11()()22ABACAEAF11(1)(1)22mABnAC,又1mn,所以11(1)22MNmABmAC,…………………………10分ABCEFMN第17题所以22222111||(1)(1)442MNmABmACmmABAC     =222111113(1)(1)()4444216mmmmm故当12m时,min3||4MN.…………………………14分江苏省常州市武进区横山桥高级中学2011届高三上学期期中考试(数学文)7、设,为互不重合的两个平面,,mn为互不重合的两条直线,给出下列四个命题:①若,mn,则mn;②若,,mnm∥,n∥,则∥③若,,,mnnm,则n④若,m,m∥n,则n∥其中所有正确命题的序号是___▲___.12、已知集合{MP|P是棱长为1的正方体1111ABCDABCD表面上的点,且2}AP,则集合M中所有点的轨迹的长度是___▲___.江苏省成化高中2011届高三(上)期末模拟试卷〈三〉(必做题部分)6.如图是一个几何体的三视图(单位:cm).这个几何体的表面积为8622(cm).[来源:学科网]俯视图A正视图侧视图ABBABCABCABC123113ACDPB13.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数nm,那么积m·n是.616.(本题满分14分)如图已知平面,,且,,ABPC,,PDCD是垂足.(Ⅰ)求证:AB平面PCD;(Ⅱ)若1,2PCPDCD,试判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论.16、证明:(Ⅰ)因为,PCAB,所以PCAB.同理PDAB.又PCPDP,故AB平面PCD.5分(Ⅱ)设AB与平面PCD的交点为H,连结CH、DH.因为AB平面PCD,所以,ABCHABDH,所以CHD是二面角CABD的平面角.又1,2PCPDCD,所以2222CDPCPD,即90CPD.在平面四边形PCHD中,90PCHPDHCPD,所以90CHD.故平面平面.14分江阴成化高中11届高三一调模拟试卷四10.已知PA,PB,PC两两互相垂直,且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2,2cm2,6cm2,则过P,A,B,C四点的外接球的表面积为▲cm2.(注24πSr球,其中r为球半径)答案:26π.讲评建议:当三线互相垂直时,联想构造长方体.长方体的对角线即为外接球的直径.二、解答题:本大题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,M,N分别为A1B,B1C1的中点.(1)求证BC∥平面MNB1;(2)求证平面A1CB⊥平面ACC1A1.答案:(1)因BC∥B1C1,………………………2分且B1C1平面MNB1,………………………………4分BC平面MNB1,故BC∥平面MNB1.………………………6分(2)因BC⊥AC,且ABC-A1B1C1为直三棱柱,…………………8分ABCMNA1B1C1(第15题)故BC⊥平面ACC1A1.因BC平面A1CB,………………………………10分故平面A1CB⊥平面ACC1A1.……………………12分讲评建议:必修2中的立几初步,必须控制难度,注重答题规范.江阴成化高中2011届高三第一次调研模拟试卷一3.一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形,边长如图所示,那么这个几何体的体积为    .117.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是直线梯形,ADC为直角,AD//BC,ABAC,AC=AB=2,G是PAC的重心,E为PB中点,F在线段BC上,且CF=2FB.(1)证明:FG//平面PAB;(2)证明:FGAC;(3)求二面角P-CD-A的一个三角函数值,使得FG平面AEC17.(I)连结CG延长交PA于M,连BM,∵G为PAC的重心,∴CG21GM:又∵CF21FB:,FG//BM.又∵BM平面PAB,FGPABFG//PAB....................................4平面,平面分(II)∵PA平面ABCD,PAACABAC,又,PAAB=AACPABACBM.,平面,由(I)知FG//BM,∴FGAC...........................7分(III)连EM,由(II)知FGACFG,平面AEC的充要条件是1FGAEBMAEEMAB=12,即,又=,设1EABMHEH=HA,2,则设PA=h,则221111EAPB4h,EHEA4h,22362222RtAMERtMHE,EMEHEA.1114h4h,26h22,PA22..................................9PAABCDADCDPDCDPA22PDAP-CD-AtanPDA=2,AD2即=分平面,,,为二面角的平面角,此时∴当二面角P-CD-A的正切值为2时,PG平面AEC……………….14分理科加试部分3.在正三棱锥P—ABC中,底面正△ABC的中心为O,D是PA的中点,PO=AB=2,求PB与平面BDC所成角的正弦值.解:以O为坐标原点,OA为x轴,OP为z轴建立空间直角坐标系.因△ABC是正三角形,故y轴平行于BC,而PO=AB=2,则P(0,0,2),A(233,0,0),B(-33,1,0),C(-33,-1,0),D是PA的中点,故D(33,0,1)BC=(0,-2,0),BD=(233,-1,1)------------2分设n=(x,y,z)是平面BDC的一个法向量,n·BC=0且n·BD=0,即:202303yxyz,化简得:0233yzx--------5分取x=3,则y=0,z=-2,平面BDC的一个法向量是n0=(3,0,-2),PB=(-33,1,-2)cos=10417143=32128-----------9分由于PB和n0所成的角与PB与平面BDC所成角互余,所以PB与平面BDC所成角的正弦值为32128.ABCPDO第3题-------------10分江苏省成化高中2011届高三(上)期末模拟试卷〈二〉11.设m、n是异面直线,则(1)一定存在平面,使m且n∥;(2)一定存在平面,使m且n;(3)一定存在平面,使m,n到的距离相等;(4)一定存在无数对平面与,使m,n,且∥;上述4个命题中正确命题的序号为.(3)16.(15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.(1)求证:EF∥平面CB1D1;(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.(3)如果AB=1,一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点,又回到F,指出整个线路的最小值并说明理由.16.解:(1)证明:连结BD.在长方体1AC中,对角线11//BDBD.又E、F为棱AD、AB的中点,//EFBD.11//EFBD.又B1D1平面11CBD,EF平面11CBD,EF∥平面CB1D1.(2)在长方体1AC中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1平面A1B1C1D1,AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,B1D1⊥平面CAA1C1.又B1D1平面CB1D1,平面CAA1C1⊥平面CB1D1.(3)最小值为32如图,将正方体六个面展开,从图中F到F,两点之间线段最短,而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点,所求的最小值为32东海高级中学2011届高三理科数学30分钟限时训练(06)6、圆锥的全面积为215cm,侧面展开图的中心角为60°,则该圆锥的体积[来源:Z&xx&k.Com]为33725cm东海高级中学2011届高三理科数学30分钟限时训练(07)9.如图,四边形ABCD为矩形,BC上平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平ABCDA1B1C1D1EFABCDEFM第9题NFED1C1B1A1DCBA面ACE.(1)求证:AE⊥BE;(2)设点M为线段AB的中点,点N为线段CE的中点.求证:MN∥平面DAE.9.(1)证明:因为ABEBC平面,ABEAE平面,所以BCAE又ACEBF平面,ACEAE平面,所以BFAE又BFBCB,所以BCEAE平面又BCEBE平面,所以BEAE.(2)解:取DE的中点P,连接PNPA,,因为点N为线段CE的中点.所以PN||DC,且DCPN21又四边形ABCD是矩形,点M为线段AB的中点,所以AM||DC,且DCAM21,所以PN||AM,且AMPN,故四边形AMNP是平行四边形,所以MN||AP而AP平面DAE,MN平面DAE,所以MN∥平面DAE.[来源:学.科.网]东海高级中学2011届高三理科数学30分钟限时训练(08)9.如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.(Ⅰ)求证:面PCC1⊥面MNQ;(Ⅱ)求证:PC1∥面MNQ.9.(Ⅰ)∵AC=BC,P是AB的中点∴AB⊥PC∵AA1⊥面ABC,CC1∥AA1,∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内∴CC1⊥AB,∵CC1∩PC=C∴AB⊥面PCC1又∵M、N分别是AA1、BB1的中点,四边形AA1B1B是平行四边形,MN∥AB,∴MN⊥面PCC1∵MN在平面MNQ内,∴面PCC1⊥面MNQ;(Ⅱ)连PB1与MN相交于K,连KQ,∵MN∥PB,N为BB1的中点,∴K为PB1的中点.又∵Q是C1B1的中点∴PC1∥KQ而KQ平面MNQ,PC1平面MNQ∴PC1∥面MNQ.东海高级中学2011届高三理科数学30分钟限时训练(10)9.长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB、A1C的中点。(1)证明:EF∥平面AA1D1D;(2)当A1A=AD时,证明:EF⊥平面A1CD。A1ABCPMNQB1C1ABCDEFG江苏省东海高级中学2011届高三上学期周周练十(数学)16.(本题满分14分)如图甲,直角梯形ABCD中,,//,ABADADBCFAD为的中点,E在BC上,且//,EFAB已知2ABADCE,现沿EF把四边形CDFE折起如图乙,使平面CDFE平面ABEF.(1)求证://AD平面BCE;(2)求证:AB平面BCE;求三棱锥CADE的体积.16.证明:(1)由题意知//,//BCEAFBEAF面,同理,DF//CEDF//面BCE……2分又,ADF,DFADFADF//BCEAFDFFAF面面面面………………4分ADADFAD//面面BCE.………………………………………5分(2)在图甲中,EF//AB,ABADEFAD在图乙中CEEF…………………6分ABBE,AB平面CDEF平面ABFE,平面CDEF平面ABFE=EFCE平面ABEFCEAB,又平面BCE……………………10分(3)平面CDEF平面ABEF,AFEFAF平面CDEF,AF为三棱锥A-CDE的高,且AF1又AB=CE=2,CDEC-ADEA-CDE112S=22=2V=V=21=233………………………14分江苏省东海县高级中学2011届高三理科数学练习十三16.如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=4,F为CE上的一点,且BF⊥平面ACE,AC∩BD=G。(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求证:AE∥平面BFD;(3)求三棱锥C-BGF的体积.16.答案:(3)连结FG.可证三棱锥C-BGF中,CF与底面BGF垂直,所以所求体积为83.江苏省东海县高级中学2011届高三上学期练习十四(数学理)11.在ABC中,若,,ABACACbBCa,则ABC的外接圆半径222abr,将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体SABC中,若SASBSC、、两两垂直,,,SAaSBbSCc,则四面体SABC的外接球半径R_____________________.2222abc16.已知:在菱形ABCD中,60DAB,PAABCD底面,PADA,,EF分别是ABPD与的中点.(1)求证:PCBD;(2)求证:AF//平面PEC;(3)在线段BC上是否存在一点M,使AF平面PDM?若存在,指出点M的位置;若不存在,说明理由。16.(1)连结AC,则AC⊥BD。∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD又AC与PA相交于A∴BD⊥平面PAC∴PC⊥BD………………4分(2)取PC的中点K,连结FK、EK,则四边形AEKF是平行四边形。∴AF//EK,又EK平面PEC,AF平面PEC,∴AF//平面PEC。………………8分(3)当M是BC的中点时,可使AF平面PDM,证明如下:…………9分∵PADA,F是PD的中点∴AF⊥PD…………10分∵菱形ABCD中,60DAB∴正BCD∴DM⊥BC又AD//BC∴DM⊥AD…………12分∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥DM∴DM⊥平面PAD∴DM⊥AF又PDDMD∴AF平面PDM…………14分江苏省东海县高级中学2011届高三上学期练习十五(数学理)7.已知,mn是两条不同直线,,,是三个不同平面,下列命题中正确的序号是__________.④ABCDPM①,,mnmn若则‖‖‖②,,若则‖③,,mm若则‖‖‖④,,mnmn若则‖江苏省东海县高级中学2010-2011学年度第一学期期中考试高三数学文16.(本题满分14分)如图,已知四棱锥ABCDP中,底面ABCD是直角梯形,//ABDC,45ABC,1DC,2AB,PA平面ABCD,1PA.(1)求证://AB平面PCD;(2)求证:BC平面PAC;(3)若M是PC的中点,求三棱锥M—ACD的体积.16.(1)证明://ABDC,且AB平面PCD∴//AB平面PCD.……………………3分(2)证明:在直角梯形ABCD中,过C作ABCE于点E,则四边形ADCE为矩形∴1AEDC,又2AB,∴1BE,在Rt△BEC中,45ABC,∴1BECE,2CB……………………………………………………4分∴1CEAD,则222DCADAC,222ABBCAC∴ACBC……………………………………………………………………6分又ABCDPA平面∴BCPA………………………………………7分AACPA∴BC平面PAC………………………………………………………………9分(3)∵M是PC中点,∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半.………………………11分12121)1121(31)21(31PASVACDACDM.………………………14分[OMDABC江苏省高淳高级中学2011届高三上学期第二次质量检测(数学理)12.已知m、n是不重合的直线,、是不重合的平面,有下列命题:(1)若∩=n,m//n,,则m//,m//;(2)若m,m,则//;(3)若m//,mn,则n;(4)若m,n,则mn。其中所有真命题的序号是_____▲______.(2)(4)16.(本小题满分14分) 如图,在四棱锥O—ABCD中,AD//BC,AB=AD=2BC,OB=OD,M是OD的中点. 求证:(Ⅰ)MC//平面OAB;(Ⅱ)BD⊥OA.16.证明:(1)设N是OA的中点,连接MN,NB,因为M是OD的中点,所以MN//AD,且2MN=AD,又AD//BC,AD=2BC,所以MNBC是平行四边形,所以MC//NB,[来源:学&科&网]又MC平面OAB,NB平面OAB,所以直线MC//平面OAB;………………………………(7分)(2)设H是BD的中点,连接AH,因为AB=AD,所以AHBD,又因为OB=OD,所以OHBD所以BD面OAH所以BDOA.……………………………………(14分)附加题22.(本小题满分10分)已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形,//ABDC,090DAB,PA底面ABCD,MPABCD第22题ABCDD1A1B1C1且1,2PAADDCAB,M是PB的中点.(Ⅰ)求AC与PB所成角的余弦值;(Ⅱ)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值的大小.22.解:以A为坐标原点,AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,12)……2分(Ⅰ)因AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1),故|AC|=2,|PB|=5,ACPB=2,所以10cos,5||||ACPBACPBACPB,即AC与PB所成的角的余弦值为105…6分(Ⅱ)由AM=(0,1,12),MC=(1,0,12),BC=(1,-1,0),设平面AMC与面BMC的法向量分别为1n=(x,y,z),2n=(p,q,v),则1n·AM=1n·MC=0,解得1n=(1,-1,2),同理2n=(1,1,2),12122cos3||||nnnn………………………………………8分由题意可知,二面角的平面角为钝角,所以面AMC与面BMC二面角的余弦值为23…10分江苏省海安、如皋2011届高三上学期期中考试试卷(数学文)15.(本小题满分14分)如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,(1)求证:平面BC1D⊥平面A1ACC1;(2)求二面角C1—BD—C的正切值.【证明】(1)因为ABCD—A1B1C1D1是正方体,所以AC⊥BD,A1A⊥平面ABCD,……………2分而BD平面ABCD,于是BD⊥A1A.………………4分因为AC、A1A平面A1ACC1,1ACAAA,所以BD⊥平面A1ACC1.……………6分因为BD平面BC1D,所以平面BC1D⊥平面A1ACC1.…………………………8分【解】(2)设AC与BD交于点O,连C1O.因为C1O、CO平面A1ACC1,而BD⊥平面A1ACC1,所以C1O⊥BD,CO⊥BD,于是1COC是二面角C1—BD—C的平面角.………………………12分设正方体的棱长为a,所以CO22a.在Rt△C1OC中,11tan2.22CCaCOCCOa故二面角C1—BD—C的正切值为2.………………………14分

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