2011年石家庄高三一模拟数学(理科)试题试卷+答案

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2011年石家庄高三一模拟数学(理科)试题试卷+答案文字介绍:试卷类型:A2011年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)说明:1.本试卷共4页,包括三道大题,22道小题,共150分.其中第一道大题为选择题.2.所有答案请在答题卡上作答,在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题.3.做选择题时,如需改动,请用橡皮将原选答案擦干净,再选涂其他答案.参考公式:如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)=Cknpk(1-p)kn(k=0,l,2,…,n)球的表面积公式S=4R2其中R表示球的半径球的体积公式V=34R3其中R表示球的半径一、选择题:本大题共l2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位,复数ii11的虚部为A.-1B.1C.iD.-i2.若},13|{},2|||{xRxBxRxA则BAA.(-2,2)B.(-2,-1)C.(0,2)D.(-2,0)抛物线y2=4x的焦点坐标为A.(2,0)B.(1,0)C.(0,-4)D.(-2,0)3.右图中的小网格由等大的小正方形拼成,则向量baA.213eeB.213eeC.213eeD.213ee4.已知),,0(且22cossin,则cossin的值为A.2B.26C.2D.265.已知椭圆162x+252y=1的焦点分别是1F、2F,P是椭圆上一点,若连结1F、2F、P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是A.516B.3C.316D.3256.若多项式x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a8的值为A.10B.45C.-9D.-457.已知a、b、c成等差数列,则直线0cbyax被曲线02222yxyx截得的弦长的最小值为A.2B.1C.22D.28.已知],2,2[,且,0sinsin则下列结论正确的是A.33B.0C.||||D.||||9.设x,y满足约束条件0004402yxyxyx,若目标函数)0,0(babyaxz的最大值为6,则)21(log3ba的最小值为A.1B.3C.2D.410.对于非空数集A,若实数M满足对任意的Aa恒有M,a则M为A的上界;若A的所有上界中存在最小值,则称此最小值为A的上确界,那么下列函数的值域中具有上确界的是A.y=2xB.y=x)21(C.y=x21D.y=xln11.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,FDAAACABBAC和,1,21分别为棱AC、AB上的动点(不包括端点),若FC1,1DB则线段DF长度的取值范围为A.]23,22[B.)1,33[C.)1,22[D.]22,32[12.设函数,0),1(0],[)(xxfxxxxf其中][x表示不超过x的最大整数,如]2,1[=-2,]2.1[=1,]1[=1,若直线y=)0(kkkx与函数y=)(xf的图象恰有三个不同的交点,则k的取值范围是A.]31,41(B.]41,0(C.]31,41[D.)31,41[二、填空题:本大题共4小题,每小题5分;共20分.13.已知直线012:1yaxl与直线0)3(:2ayxal,若1l2l,则实数a的值为.14.在三棱锥P-ABC中,PBABC,90平面ABC,AB=BC=22,PB=2,则点B到平面PAC的距离是.15.用直线y=m和直线y=x将区域x2+y26分成若干块。现在用5种不同的颜色给这若干块染色,每块只染一种颜色,且任意两块不同色,若共有120种不同的染色方法,则实数m的取值范围是.16.已知ABC中,角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且满足2225bca,BE与CF分别为边AC、AB上的中线,则BE与CF夹角的余弦值为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文宇说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分l0分)在ABC中,角A、B、C的对边长分别是a、b、c,若.0cos)2(cosBcaCb(I)求内角B的大小;(Ⅱ)若b=2,求ABC面积的最大值.18.(本小题满分12分)如图所示,五面体ABCDE中,正ABC的边长为1,AE平面ABC,CD∥AE,且CD=21AE.(I)设CE与平面ABE所成的角为,AE=),0(kk若],4,6[求k的取值范围;(Ⅱ)在(I)和条件下,当k取得最大值时,求平面BDE与平面ABC所成角的大小.19.(本小题满分12分)已知函数).(ln)(2Raaxxxxf(I)求函数)(xf的单调区间.(II)若,2)(2xxf求a的取值范围.20.(本小题满分l2分)在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中,设有A、B、C三道必答题,分值依次为20分、30分、50分.竞赛规定:若参赛选手连续两道题答题错误,则必答题总分记为零分;否则各题得分之和记为必答题总分已知某选手回答A、B、C三道题正确的概率分别为21、31、41,且回答各题时相互之间没有影响(I)若此选手可以自由选择答题顺序,求其必答题总分为50分的概率;(Ⅱ)若此选手按A、B、C的顺序答题,求其必答题总分的分布列和数学期望.21.(本小题满分l2分)已知椭圆1322yx的上、下顶点分别为),(),(,11121yxNyxMAA和和是椭圆上两个不同的动点.(I)求直线MA1与NA2交点的轨迹C的方程;(Ⅱ)若过点F(0,2)的动直线z与曲线C交于A、B两点,,FBAF问在y轴上是否存在定点E,使得)(EBEAOF?若存在,求出E点的坐标;若不存在,说明理由.22.(本小题满分l2分)已知数列}{na中,.,31)11(,1*1211Nnanaannn(I)求证:当;32*na,Nnn时且(II)求证:*3,Nnean(e为自然对数的底数,参考数据4.14ln,1.13ln).2010-2011年度石家庄市第一次模拟考试理科数学答案一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.(A卷答案):1-5ADCDA6-10BDDAB11-12CD(B卷答案):1-5BDCDB6-10ADDBA11-12CD二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分13.1或214.215.3,316.0三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)解:(I)解法一:∵0cos)2(cosBcaCb,由正弦定理得:BABCCBcossin2cossincossin,E即BACBcossin2)sin(.………………2分在ABC△中,ACBπ,∴BAAcossin2sin,0sinA………………3分∴21cosB,∴3π2B.………………5分解法二:因为0cos)2(cosBcaCb,由余弦定理222222(2)022abcacbbacabac,化简得222aaccb,……………2分又余弦定理2222cosacacBb,……………3分所以1cos2B,又(0,)B,有23B.……………5分(II)解法一:∵2222cosbacacB,∴224acac,……………6分23acacac.∴43ac,………………8分∴11433sin22323ABCSacB.………………9分当且仅当233ac时取得等号.……………………10分解法二:由正弦定理知:BbCcsinsin,)3πsin(3343π2sin)3πsin(2sinsinAABCbc.………………6分∴ABCS△Abcsin21)3π0(sin)3πsin(334AAA,AAAsin)sin21cos23(334AAA2sin332cossin2)2cos1(332sinAA332cos332sinAA33)6π2sin(332A,………………8分∵3π0A,∴6π56π26πA,∴12πsin)6π2sin(A,………………9分∴3333)6π2sin(332A,即ABC△的面积ABCS△的最大值是33.………………10分18.(本小题满分12分)解:方法一:(Ⅰ)取AB中点M,连结CM、EM,由ABC为正三角形,得CMAB,又AEABC面,则AECM,可知CMABE面,所以MEC为CE与平面ABE所成角.……………2分232tan14CMEMk,………………4分因为[,]64,得3tan[,1]3,得222k.……………6分(Ⅱ)延长ACED、交于点S,连BS,可知平面BDE平面ABC=BS.………………………7分由//CDAE,且12CDAE,又因为ACCSBC=1,从而ABBS,…………………8分又AE面ABC,由三垂线定理可知BEBS,即EBA为平面BDE与平面ABC所成的角;……………………10分则tan2AEEBAAB,从而平面BDE与面ABC所成的角的大小为arctan2.………………12分方法二:解:(Ⅰ)如图以C为坐标原点,CA、CD为y、z轴,垂直于CA、CD的直线CT为x轴,建立空间直角坐标系(如图),则设(0,1,0)A,(0,0,)2kD,(0,1,)Ek,31(,,0)22B.……………2分取AB的中点M,则33(,,0)44M,易知,ABE的一个法向量为33(,,0)44CM,由题意22334sin||||392111616CECMCECMkk.………………4分由[,]64,则12232sin221k,得222k.…………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知k最大值为2,则当2k时,设平面BDE法向量为x,y,z)n=(,则20,2320.222DEyzyBExznn取n=(-3,-1,2),………………8分又平面ABC法向量为m=(0,0,1),……………………10分所以cos(,)nm=233231,所以平面BDE与平面ABC所成角大小3arccos.3……………………12分19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)()fx的定义域为(0,).…………………1分21()fxxax=221xaxx(0x),设2()21gxxax,只需讨论()gx在(0,)上的符号.…………………2分(1)若04a,即0a,由()gx过定点(0,1),知()gx在(0,)上恒正,故()0fx,()fx在(0,+)上为增函数.…………………3分(2)若04a,当280a时,即022a时,知()0gx(当22x时,取“=”),故()0fx,()fx在(0,+)上为增函数;……………………4分当280a时,由2210,xax得284aax,当2804aax或284aax时,()0gx,即()0fx,当228844aaaax时,()0gx,即()0fx.则()fx在2288(,)44aaaa上为减函数,在28(0,)4aa,28(,)4aa上为增函数.………………5分综上可得:当22a时,函数(fx)的单调增区间(0,+);当22a时,函数(fx)的单调增区间为28(0,)4aa,28(,)4aa;函数(fx)的单调减区间为2288(,)44aaaa.…………………6分(Ⅱ)由条件可得2ln00)xxaxx(,则当0x时,lnxaxx恒成立,………………8分令ln()(0)xhxxxx,则21ln(),xxhxx…………………9分方法一:令2()1ln(0)kxxxx,则当0x时,1()20kxxx,所以()kx在(0,+)上为减函数.又(1)0h,所以在(0,1)上,()0hx;在(1,+)上,()0hx.………10分所以()hx在(0,1)上为增函数;在(1,+)上为减函数.所以max()(1)1hxh,所以1.a……………12分方法二:当01x时,210,ln0,xx()0hx;当1x时,210,ln0,xx()0hx.……………10分所以()hx在(0,1)上为增函数;在(1,+)上为减函数.所以max()(1)1hxh,所以1.a………………12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)记总分得50分为事件D,记A,B答对,C答错为事件D1,记A,B答错,C答对为事件D2,则D=D1+D2,且D1,D2互斥.……………1分又81)411(3121)(1DP,………………3分36141)311(21)(33222AADP.…………………5分所以12121111()()()()83672PDPDDPDPD.所以此选手可自由选择答题顺序,必答题总分为50分的概率为1172.……………6分(Ⅱ)可能的取值是0,30,50,70,80100,.……………7分100表示A,B,C三题均答对,则241413121)100(P,……………8分同理,2414131)211()80(P,12141)311(21)70(P,81)411(3121)50(P,81)411(31)211()30(P,127)311()211()411()311(21)0(P,所以,的分布列为100807050300P2412411218181127……………10分所以的数学期望111117010080705030242412883E.……………12分21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)方法一:设直线MA1与NA2的交点为),(yxP,∵21AA,是椭圆1322yx的上、下顶点,∴12(03)(03)AA,,,-…………………1分11133yAMyxx:,12133yANyxx:,两式相乘得22121233xxyy.………………………3分而),(11yxM在椭圆1322yx(10x)上,所以132121yx,即332121xy,所以2233xy.……………4分又当0x时,不合题意,去掉顶点.∴直线MA1与NA2的交点的轨迹C的方程是221(0)3yxx;……………5分方法二:设直线MA1与NA2的交点为),(yxP,∵21AA,是椭圆1322yx的上、下顶点,∴12(03)(03)AA,,,-…………………1分∵PMA、、1共线,PNA、、2共线,∴xyxy3311…………①xyxy3311…………②…………………3分①②得22212133xyxy,又∵132121yx即332121xy,∴3322xy,即221(0)3yxx,∴直线MA1与NA2的交点的轨迹C的方程是1322xy;(0x)……………5分(Ⅱ)假设存在满足条件的直线,由已知,其斜率一定存在,设其斜率为k,设)(11yxA,,)(22yxB,,)0(0yE,,由2221.3ykxyx,得)3(014)3(222kkxxk,3134221221kxxkkxx,.…………………6分11(2)AFxy,,22(2)FBxy,,∵AFFB,∴21xx,∵02x,∴21xx,∵(02)OF,,110()EAxyy,,220()EBxyy,,121020()EAEBxxyyyy,,,又∵()OFEAEB,∴()0OFEAEB,∴0)2(0020121yyyyxx(),即00201yyyy.………………………8分将211kxy,222kxy,21xx代入上式并整理得0212121)()(22yxxxxxkx,…………………9分当021xx时,2323432222221210kkkkxxxkxy,当021xx时,0k,0212121)()(22yxxxxxkx恒成立,…………………11分所以,在y轴上存在定点E,使得()OFEAEB,点E的坐标为)230(,.………12分22.(本小题满分12分)(I)证明:方法一:∵011a,由12131)11(nnnana得02a,于是易得0na.………………2分又*12110()3nnnnaaannN,即*1()nnaanN又∵32a,∴32aan(2n).…………………4分方法二:数学归纳法(1)当2n时,332aan,命题成立.………………1分(2)假设当kn(2n)时命题成立,即3ka,当1kn时,12131)11(kkkaka33112kkkkakaa∴1kn时命题成立.………………3分由(1)(2)可知,当2n时,3na.…………………4分(II)证明:由(I)知12131)11(nnnana2121111(1)(1)33nnnnnaaann,……………5分两边取自然对数得:)3111ln(lnln121nnnnaa.………………6分令)0()1ln()(xxxxf,则当0x时,01111)(xxxxf恒成立,∴)(xf为)0[,上的减函数,∴0)0()(fxf∴xx)1ln(在0x时恒成立,………………7分12111111lnlnln(1)33nnnnnaaannn131111lnnnnna即nnaalnln1131111nnn(2n),………………9分故,21311121lnlnnnnnnaa,321312131lnlnnnnnnaa,……………………………31211lnln23aa,以上各式相加得:2211[1()]11333lnln11112213nnaan,(3n)…………10分又∵32a,∴33ln23lnna,∴3ena(3n),………………11分又∵11a3e,32a3e,∴3ena(*nN).…………………12分

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