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2011年福建省高考模拟试题数学（理科）试卷+参考答案

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2011年福建省高考模拟试题数学（理科）试卷+参考答案文字介绍:否开始是结束输出na=3151，b=1.105,n=2008a>8000n=n+12011年福建省高考模拟试题（1）数学（理科）试卷命题人：安溪八中2011-3-29（考试时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共21道题。满分值：150分，考试时间：120分钟。考生只交第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设UR，集合|1,1Ayyxx，240BxZx，则下列结论正确的是（）A．2,1ABB．()(,0)UABðC．[0,)ABD．()2,1UABð2．已知向量(1,3)a，(1,0)b，则|2|ab（）A．1B.2C.2D.43．如图：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是（）4．已知i是虚数单位，使(1)ni为实数的最小正整数n为（）A．2B．4C．6D．85．已知43sin()sin,0,352则2cos()3等于（）A．45B．35C．35D．456．下列说法中,不正确的是（）A．“xy”是“xy”的必要不充分条件；B．命题:pxR，sin1x≤，则:pxR，sin1x；C．命题“若,xy都是偶数，则xy是偶数”的否命题是“若,xy不是偶数，则xy不是偶数”；D．命题:p所有有理数都是实数,:q正数的对数都是负数，则()()pq为真命题.7．已知实数,mn满足01nm,给出下列关系式①23mn②23loglogmn③23mn其中可能成立的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．福建泉州市2008年的生产总值约为3151亿元人民币，如果从此泉州市生产总值的年增长率为10.5%，求泉州市最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？HBCDABCDA1B1C1D1HGKLE某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容应是（）A．aabB．aabC．()naabD．naab9．设函数xfy的定义域为R+，若对于给定的正数K，定义函数,,,,KxfxfKxfKxfK则当函数xxf1,1K时，dxxfK241的值为（）A．22ln2B．12ln2C．2ln2D．12ln210．若在直线l上存在不同的三个点CBA，，，使得关于实数x的方程20xOAxOBBC有解（点O不在l上），则此方程的解集为（）(A)1(B)(C)1515,22(D)1,0第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大共5小题,每小题4分，满分20分.11.某体育赛事志愿者组织有1000名志愿者，其中参加过2008年北京奥运会志愿服务的有250名，新招募的2010年广州亚运会志愿者750名.现用分层抽样的方法从中选出100名志愿者调查他们的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是．12.如图，在矩形ABCD中，OACAB,2,1为AC中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线顶点，点DB,在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为.13.上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m.14.若实数x、y满足20,,,xyyxyxb且2zxy=+的最小值为3，则实数b的值为_____.CB世博轴·A中国馆120º15．若等差数列na的首项为1,a公差为d，前n项的和为nS，则数列{}nSn为等差数列，且通项为1(1)2nSdann．类似地，若各项均为正数的等比数列{}nb的首项为1b，公比为q，前n项的积为nT，则数列{}nnT为等比数列,通项为____________________.三、解答题:本大题共6小题,16—19各13分，20—21各14分，满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分13分）泉州市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度.通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次，并根据等级给予相应的奖惩（如下表）.某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等次的概率分别为111123824，，，，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、5万元.设该企业当年因改造而增加利润为.()Ⅰ在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少？（Ⅱ）求的数学期望.评估得分(0,60)7060，8070，10080，评定等级不合格合格良好优秀奖惩（万元）80306010017．（本题满分13分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P为线段1AD上的点，且满足1(0)DPPA.（Ⅰ）当1时，求证：平面11ABCD平面PDB；（Ⅱ）试证无论为何值，三棱锥1DPBC的体积恒为定值；（Ⅲ）求异面直线1CP与1CB所成的角的余弦值.18．（本题满分13分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD的池底水平第17题图ABCDEFθ铺设污水净化管道FHERt(，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，FE,分别落在线段ADBC,上.已知20AB米，310AD米，记BHE.（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；（2）若2cossin，求此时管道的长度L；（3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.19．（本题满分13分）已知椭圆C：22221xyab（0ab），其焦距为2c，若512ca（0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．（1）求证：在黄金椭圆C：22221xyab（0ab）中，a、b、c成等比数列．（2）黄金椭圆C：22221xyab（0ab）的右焦点为2(,0)Fc，P为椭圆C上的任意一点．是否存在过点2F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足23RPPF？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C：22221xyab（0ab）的左、右焦点分别是1(,0)Fc、2(,0)Fc，以(,0)Aa、(,0)Ba、(0,)Db、(0,)Eb为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点1F、2F．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．20．（本题满分14分）已知二次函数2fxaxbxc和“伪二次函数”2gxaxlnbxcx（a、b、,cR0abc），（I）证明：只要0a，无论b取何值，函数gx在定义域内不可能总为增函数；（II）在二次函数2fxaxbxc图象上任意取不同两点1122(,),(,)AxyBxy，线段AB中点的横坐标为0x，记直线AB的斜率为k，（i）求证：0()kfx；（ii）对于“伪二次函数”2lngxaxbxcx，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4一2:矩阵与变换若点A（2，2）在矩阵cossinsincosM对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．(2)(本小题满分7分)选修4一4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：cos()224与曲线C2：24,4xtyt（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．(3)(本小题满分7分)选修4一5:不等式选讲求证:*Nn,132212111nnnnn.2011年福建省高考模拟试题（1）数学（理科）试卷参考答案第18题图一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．1．B2．C3．D4．D5．B6．C7．C8．B9．D10．A二、本大题共4个小题；每小题5分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算．11．7512．3113．10003314．9415．11()nnnTbq三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解：（Ⅰ）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为P，则111123238248P…………………4分（Ⅱ）依题意，的可能取值为185,105,80,60,50,40,0,60,则1612181)50(,612131)0(,412121)60(PPP412121)40(,48121241)185(PP，111111111(60),(80),(105)326821624248PPP则其分布列为18510580605040060P14814816116116141614……………………………………10分∴1111115(60406050801851054616486E）（）（）（）（万元）………………………………13分18．解：方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体1111ABCDABCD中，AB面11AADD，又11ABABCD∴平面11ABCD平面11AADD，………………2分∵1时，P为1AD的中点，∴1DPAD，又∵平面11ABCD平面11AADD1AD，∴DP平面11ABCD，又DP平面PDB，∴平面11ABCD平面PDB．………4分（Ⅱ）∵11//ADBC，P为线段1AD上的点，∴三角形1PBC的面积为定值，即1122122PBCS，………………6分又∵//CD平面11ABCD，∴点D到平面1PBC的距离为定值，即22h，………………8分∴三棱锥1DBPC的体积为定值，即111122133226DPBCPBCVSh．也即无论为何值，三棱锥1DPBC的体积恒为定值16；………………………10分（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知1BC平面11ABCD，又1CP平面11ABCD，∴11BCCP，…………………………12分即异面直线1CP与1CB所成的角为定值90，从而其余弦值为0．…………………13分方法二、如图，以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系．（Ⅰ）当1时，即点P为线段1AD的中点，则11(,0,)22P，又(0,0,0)D、(1,1,0)B∴11(,0,)22PD，11(,1,)22PB，设平面PDB的法向量为(,,)nxyz，……1分则00PDnPBn，即11002211022xzxyz，令1y，解得(1,1,1)n，…2分又∵点P为线段1AD的中点，∴1DPAD，∴DP平面11ABCD，∴平面11ABCD的法向量为11(,0,)22PD，……………3分∵110022PDn，∴平面11ABCD平面PDB，………………………4分（Ⅱ）略；（Ⅲ）∵1(0)DPPA，∴1(,0,)11P，…………………10分又1(0,1,1)C、(0,1,0)C、1(1,1,1)B，∴1(,1,)11CP，1(1,0,1)CB，……………………………11分∵110011CPCB…………………………………12分∴不管取值多少，都有11CPCB，即异面直线1CP与1CB所成的角的余弦值为0.……13分18．（1）解：10cosEH，10sinFH，2210(0)sincos2EFEHFH.由于10tan103BE，10103tanAF，所以3tan33，所以[,]63.所以101010cossinsincosL，[,]63.…………4分（2）解：当sincos2时，1sincos2，10(sincos1)20(21)sincosL（米）.……7分（3）解：10(sincos1)sincosL，设sincost，则21sincos2t，所以201Lt.由于[,]63，所以13sincos2sin()[,2]42t.由于201Lt在13[,2]2上单调递减，所以当312t即6或3时，L取得最大值20(31)米.答：当6或3时，污水净化效果最好，此时管道的长度为20(31)米.……13分19．（1）证明：由512ca及222bac，得2222225151()22bacaaaac，故a、b、c成等比数列．（3分）（2）解：由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为()ykxc，得(0,)Rkc，又2(,0)Fc，及23RPPF，得点P的坐标为3(,)22ckc，（5分）因为点P在椭圆上，所以22223221ckcab，又2bac，得229144ckcaa，2135502k，故存在满足题意的直线l，其斜率13552k．（6分）（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线C：22221xyab，其焦距为2c，若512ca（或写成512ac0.618），则称双曲线C为“黄金双曲线”．（8分）在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线C：22221xyab的左、右焦点分别是1(,0)Fc、2(,0)Fc，以1(,0)Fc、2(,0)Fc、(0,)Db、(0,)Eb为顶点的菱形12FDFE的内切圆过顶点(,0)Aa、(,0)Ba．（10分）证明：直线2EF的方程为0bxcybc，原点到该直线的距离为22bcdbc，将2bac代入，得2caccadacacc，又将512ca代入，化简得da，故直线2EF与圆222xya相切，同理可证直线1EF、1DF、2DF均与圆222xya相切，即以(,0)Aa、(,0)Ba为直径的圆222xya为菱形12FDFE的内切圆，命题得证．（13分）20．解：（I）如果0,()xgx为增函数,则22()20caxbxcgxaxbxx(1)恒成立,--------1分当0x时恒成立,220axbxc(2)0,a由二次函数的性质,(2)不可能恒成立.则函数()gx不可能总为增函数.--------4分（II）（i）222121212121()fxfxaxxbxxkxxxx=02axb.--------6分由()2,fxaxb00()2fxaxb,……..7分则0()kfx--------7分（ii）不妨设21xx,对于“伪二次函数”:法一:2ln()lngxaxbxcxfxcxc.2212112121()()lnxfxfxcgxgxxkxxxx21021ln(),xcxfxxx(3)--------9分又000()cgxfxx,法二:22221212112121()lnxaxxbxxcgxgxxkxxxx=21021ln2xcxaxbxx,(3)--------9分由(ⅰ)中(1)0002cgxaxbx,如果有(ⅰ)的性质，则0gxk,(4)比较(3)(4)两式得21210lnxcxcxxx，0,c即：212112ln2xxxxxx，(4)--------12分不妨令21,1,xttxln211ttt，(5)设22()ln1tsttt，则22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)tttsttttt，∴()st在(1,)上递增，∴()(1)0sts.∴(5)式不可能成立,（4）式不可能成立,0gxk.--------13分∴“伪二次函数”2lngxaxbxcx不具有(ⅰ)的性质.--------14分21．.解（1）．解：2222M，即2cos2sin22sin2cos2，……………………2分所以cossin1,sincos1.解得cos0,sin1.……………………5分所以0110M．由1MM1001，得10110M．……………7分另解：01M10＝10，10110M．另解：01cos90sin9010sin90cos90M，看作绕原点O逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是1cos(90)sin(90)sin(90)cos(90)M0110．（2）．曲线1C的直角坐标方程4xy，曲线2C的直角坐标方程是抛物线24yx，4分设11(,)Axy，22(,)Bxy，将这两个方程联立，消去x，得212416016yyyy，421yy．………………3分016)(42)4)(4(212121212121yyyyyyyyyyxx．……5分∴0OAOB，OBOA．………………………………………7分（3）．22)2()1(212111nnnnnnn,所以132232)1(2121112222nnnnnnnnnnnn…………………………7分

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