2011届高三一轮测试(文)9直线、平面、简单几何体+答案(通用版)

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2011届高三一轮测试(文)9直线、平面、简单几何体+答案(通用版)文字介绍:直线、平面、简单几何体(A、B)—————————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行,则(  )A.a∥\\αB.a∥αC.a与b一定是异面直线D.α内可能有无数条直线与a平行2.正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是(  )A.        B.C.2πa2D.3πa23.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为,且底面边长为2,则高为(  )A.1B.2C.3D.44.已知直线m⊥平面α,直线n⊂平面β,则下列命题正确的是A.若α∥β,则m⊥nB.若α⊥β,则m∥nC.若m⊥n,则α∥βD.若n∥α,则α∥β5.将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角,点C到达点C1,这时异面直线AD与BC1所成的角的余弦值是(  )A.B.C.D.6.设有三个命题,甲:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;乙:底面是矩形的平行六面体是长方体;丙:直四棱柱是直平行六面体.以上命题中,真命题的个数有(  )A.0个B.1个C.2个D.3个7.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形是(  )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形8.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成二面角的余弦值是(  )A.B.C.D.9.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为(  )A.B.C.D.10.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,下列四个命题中,正确的是(  )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,且m∥β,n∥β,则α∥βC.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD1、D1C1的中点,则直线OM(  )A.和AC、MN都垂直B.垂直于AC,但不垂直于MNC.垂直于MN,但不垂直于ACD.与AC、MN都不垂直12.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(  )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分二171819202122得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若正三棱锥底面的边长为a,且每两个侧面所成的角均为90°,则底面中心到侧面的距离为________.14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E为AA1的中点,在对角面BB1D1D上取一点M,使AM+ME最小,其最小值为________.15.a,b,c是空间中互不重合的三条直线,下面给出五个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;⑤若a,b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的________(只填序号).16.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如右图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证:CD⊥PD;(2)求证:EF∥平面PAD.18.(本小题满分12分)在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,现沿AC折成二面角D-AC-B,使BD为异面直线AD、BC的公垂线.(1)求证:平面ABD⊥平面ABC;(2)当a为何值时,二面角D-AC-B为45°.19.(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=3,M为AB的中点,四点P、A、M、C都在球O的球面上.(1)证明:平面PAB⊥平面PCM;(2)证明:线段PC的中点为球O的球心.20.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.(1)建立适当的坐标系,并写出点B,P的坐标;(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值;(3)若PB的中点为M,求证:平面AMC⊥平面PBC.21.(本小题满分12分)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上的任意一点.(1)求证:平面EBD⊥平面SAC;(2)设SA=4,AB=2,求点A到平面SBD的距离;(3)当的值为多少时,二面角B-SC-D的大小为120°?22.(本小题满分12分)如图,M、N、P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点.(1)若=,求证:无论点P在D1D上如何移动,总有BP⊥MN;(2)若D1P:PD=1∶2,且PB⊥平面B1MN,求二面角M-B1N-B的余弦值;(3)棱DD1上是否总存在这样的点P,使得平面APC1⊥平面ACC1?证明你的结论.答案:一、选择题1.D2.B 设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R,依题意知R2=a2,即R2=a2,∴S球=4πR2=4π·a2=.故选B.3.B 设高为h,则由=可得h=2,也可建立空间直角坐标系,利用空间向量进行求解.4.A 易知A选项由m⊥α,α∥β⇒m⊥β,n⊂β⇒m⊥n,故A选项命题正确.5.D 设正方形边长为1,由题意易知∠CBC1即为AD与BC1所成的角.设AC与BD相交于O,易知△CC1O为正三角形,故CC1=,在△CBC1中,由余弦定理可得所求余弦值为.故选D.6.B 命题甲正确,命题乙不正确,命题丙不正确,故真命题个数为1,应选B7.C 将直观图还原得▱OABC,∵O′D′=O′C′=2cm,OD=2O′D′=4cm,C′D′=O′C′=2cm,∴CD=2cm,OC===6cm,OA=O′A′=6cm=OC,故原图形为菱形.8.B 以正三棱锥O-ABC的顶点O为原点,OA,OB,OC为x,y,z轴建系,设侧棱长为1,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),侧面OAB的法向量为O=(0,0,1),底面ABC的法向量为n=(,,),∴cos〈O,n〉===.9.D 过O作A1B1的平行线,交B1C1于E,则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离.作EF⊥BC1于F,易证EF⊥平面ABC1D1,可求得EF=B1C=.选D.10.D A错,平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面;B错,必须平面内有两条相交直线分别与平面平行,此时两平面才平行;C错,两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直;D对,由空间想象易知命题正确.11.A 以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0)、D1(0,0,2a)、M(0,0,a)、A(2a,0,0)、C(0,2a,0)、O(a,a,0)、N(0,a,2a).∴O=(-a,-a,a),M=(0,a,a),A=(-2a,2a,0).∴O·A=0,M·O=0,∴OM⊥AC,OM⊥MN.12.A ∵BA⊥AC,BC1⊥AC,BA∩BC1=B,∴AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABC1,且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上.二.、填空题13.【解析】 过底面中心O作侧棱的平行线交一侧面于H,则OH=×a=a为所求.【答案】 a14.【解析】 取CC1的中点F,则ME=MF,∴AM+ME=AM+MF≥AF==a.【答案】 a15.【解析】 由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.【答案】 ①16.【解析】 由PA⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,得PA⊥AE,又由正六边形的性质得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,∴AE⊥PB,①正确;又平面PAB⊥平面ABC,所以平面ABC⊥平面PBC不成立,②错;由正六边形的性质得BC∥AD,又AD⊂平面PAD,∴BC∥平面PAD,∴直线BC∥平面PAE也不成立,③错;在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴④正确.【答案】 ①④三、解答题17.【证明】 (1)∵PA⊥平面ABCD,而CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,又CD⊥AD,AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.(2)取CD的中点G,连接EG、FG.∵E、F分别是AB、PC的中点,∴EG∥AD,FG∥PD,∴平面EFG∥平面PAD,又∵EF⊂平面EFG,∴EF∥平面PAD.18.【解析】 (1)证明:由题知BC⊥BD,又BC⊥AB.∴BC⊥面ABD,∴面ABC⊥面ABD.(2)作DE⊥AB于E,由(1)知DE⊥面ABC,作EF⊥AC于F,连DF,则DF⊥AC,∴∠DFE为二面角D-AC-B的平面角.即∠DFE=45°.EF=DE=DF,∵DF=,AF=且=,解得a2=,a=.19.【解析】 (1)证明:∵AC=BC,M为AB的中点,∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,∴PA⊥CM.∵AB∩PA=A,AB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB,∴CM⊥平面PAB.∵CM⊂平面PCM,∴平面PAB⊥平面PCM.(2)证明:由(1)知CM⊥平面PAB.∵PM⊂平面PAB,∴CM⊥PM.∵PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴PA⊥AC.如图,,取PC的中点N,连结MN、AN.在Rt△PAC中,点N为斜边PC的中点,∴AN=PN=NC.在Rt△PCM中,点N为斜边PC的中点,∴MN=PN=NC.∴PN=NC=AN=MN.∴点N是球O的球心,即线段PC的中点为球O的球心.20.【解析】 (1)如图所示,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz.∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0),由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,∴∠PAD=60°.在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2,∴P(0,0,2).(2)∵=(2,0,-2),=(-2,-3,0),∴cos<,>==-,所以PA与BC所成角的余弦值为(3)证明:∵M为PB的中点,∴点M的坐标为(1,2,),∴=(-1,2,),=(1,1,),=(2,4,-2),∵·=(-1)×2+2×4+×(-2)=0,·=1×2+1×4+×(-2)=0,∴⊥,⊥,∴PB⊥平面AMC∵PB⊂平面PBC∴平面AMC⊥平面PBC.21.【解析】 (1)∵SA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴SA⊥BD.∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∴BD⊥平面SAC.∵BD⊂平面EBD,∴平面EBD⊥平面SAC.(2)设AC∩BD=F,连SF,则SF⊥BD.∵AB=2.∴BD=2.∵SF===3∴S△SBD=BD·SF=·2·3=6.设点A到平面SBD的距离为h,∵SA⊥平面ABCD,∴·S△SBD·h=·S△ABD·SA,∴6·h=·2·2·4,∴h=,∴点A到平面SBD的距离为.(3)设SA=a,以A为原点,AB、AD、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,为计算方便,不妨设AB=1,则C(1,1,0),S(0,0,a),B(1,0,0),D(0,1,0),∴=(1,1,-a),=(1,0,-a),=(0,1,-a),再设平面SBC,平面SCD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则∴y1=0.从而取x1=a,则z1=1.∴可取n1=(a,0,1).∵∴x2=0,∴取y2=a.则z2=1,∴可取n2=(0,a,1).∴cos=.要使二面角B-SC-D的大小为120°,则=,从而a=1.即当==1时,二面角B-SC-D的大小为120°.22.【解析】 (1)证明:连结AC、BD,则BD⊥AC,∵=,∴MN∥AC,∴BD⊥MN.又∵DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥MN,∵BD∩DD1=D,∴MN⊥平面BDD1.又P无论在DD1上如何移动,总有BP⊂平面BDD1,∴无论点P在D1D上如何移动,总有BP⊥MN.(2)以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的坐标系.设正方体的棱长为1,AM=NC=t,则M(1,t,0),N(t,1,0),B1(1,1,1),P(0,0,),B(1,1,0),A(1,0,0),∵=(0,1-t,1),B=又∵BP⊥平面MNB1,∴·B=0,即t-1+=0,∴t=,∴=(0,,1),M=(-,,0).设平面MNB1的法向量n=(x,y,z),由,得x=y,z=-y.令y=3,则n=(3,3,-2).∵AB⊥平面BB1N,∴A是平面BB1N的一个法向量,A=(0,1,0).设二面角M-B1N-B的大小为θ,∴cos〈n,A〉==.则二面角M-B1N-B的余弦值为.(3)存在点P,且P为DD1的中点,使得平面APC1⊥平面ACC1.证明:∵BD⊥AC,BD⊥CC1,∴BD⊥平面ACC1.取BD1的中点E,连PE,则PE∥BD,∴PE⊥平面ACC1.∵PE⊂平面APC1,∴平面APC1⊥平面ACC1.

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