2011年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用+答案解析(通用版)

2011年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用+答案解析(通用版)1 2011年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用+答案解析(通用版)2 2011年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用+答案解析(通用版)3 2011年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用+答案解析(通用版)4 2011年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用+答案解析(通用版)5 2011年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用+答案解析(通用版)6
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2011年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用+答案解析(通用版)文字介绍:第三节空间向量在立体几何中的应用一、选择题1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ是异面直线A1D和AC的公垂线,则直线PQ与BD1的关系是()A.异面直线        B.平行直线C.垂直但不相交D.垂直相交答案:B2.已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下不等式中可能不成立的是(  )A.PA·AB=0B.PC·BD=0C.PD·AB=0D.PA·CD=0答案:B3.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D—ABC的体积为(  )A.B.C.a3D.a3答案:D4.如下图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(  )A.(1,1,1)B.C.D.解析:∵M在EF上,设ME=x,∴M∵A(,,0),D(,0,0),E(0,0,1),B(0,,0)∴ED=(,0,-1),EB=(0,,-1),AM=,设平面BDE的法向量n=(a,b,c)由,得.故可取一个法向量n=(1,1,),有n·AM=0,∴x=1,∴M,故选C.答案:C5.如下图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若E、F分别是BC、DD1中点,则B1到平面ABF的距离为(  )A.B.C.D.解析:(1)建立如右图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B1(1,1,0),F,E,B(1,1,1).AB=(0,1,0),B1E=,FA=,∵FA·B1E=·=0.∴AF⊥B1E,又AB⊥B1E.∴B1E⊥平面ABF.平面ABF的法向量为B1E=,AB1=(0,1,-1).B1到平面ABF的距离为=.答案:D二、填空题6.如下图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,异面直线AC与BC1的夹角为____________.解析:以D为坐标原点,建立如题图空间坐标系,设正方体棱长为1,则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1)则AC=(-1,1,0),BC1=(-1,0,1),∴cosθ===,∴θ=60°,即AC与BC1的夹角为60°.答案:60°7.如下图所示,已知矩形ABCD中,|AD|=3,|AB|=4.将矩形ABCD沿对角线BD折起,使得面BCD⊥面ABD.现以D为原点,DB作为y轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系,此时点A恰好在xDy坐标平面内.则A,C两点的坐标分别是________,A,C两点的距离是______.解析:由于面BCD⊥面ABD,从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD的垂线,同理可得AE即为面BCD的垂线,故只需求得AE,CF,DE,DF的长度即可.答案:A,C 8.如下图所示,已知棱长为a的正四面体ABCD中,E、F在BC上,G在AD上,E是BC的中点,CF=CB,AG=AD,给出下列四个命题:①AC⊥BD;②FG=a;③侧面与底面所成二面角的余弦值为;④AE·CB<AE·CD.其中真命题的序号是______________.答案:①②③三、解答题9.(2009年滨州模拟)如下图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD=2,E、F分别为棱AD、PC的中点.(1)求异面直线EF和PB所成角的大小;(2)求证:平面PCE⊥平面PBC;(3)求二面角E-PC-D的大小.解析:以直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AP为z轴建立空间直角坐标系,如右图,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)∵E为AD的中点,∴E(0,1,0),又F为PC的中点,∴F(1,1,1).∴EF=(1,0,1).又PB=(2,0,-2),∴cos〈EF,PB〉==0,∴cos〈EF,PB〉=90°,异面直线EF和PB所成角的大小为90°.(2)证明:由(1)知EF⊥PB,又∵BC=(0,2,0),EF=(1,0,1)∴EF·BC=0,∴EF⊥BC.∴又EF⊂平面PCE,∴平面PCE⊥平面PBC.(3)过点D作DH⊥PC于H,在Rt△PDC中,PD=2,DC=2,PC=2,则CH=,PH∶HC=2∶1,又P(0,0,2),C(2,2,0),∴H∴DH=,又EF=(1,0,1),cos〈DH,EF〉==,∴〈DH,EF〉=30°.∴二面角E-PC-D的大小为30°.10.(2009年北京卷)如右图所示,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;(2)当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.解析:法一:如右图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,设AB=a,PD=h,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h),(1)∵AC=(-a,a,0),DP=(0,0,h),DB=(a,a,0),∴AC·DP=0,AC·DB=0,∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面PDB,∴平面AEC⊥平面PDB.(2)当PD=AB且E为PB的中点时,P,E,设AC∩BD=O,连接OE,由(1)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,∵EA=,EO=,∴cos∠AEO==,∴∠AOE=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.法二:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,∴平面AEC⊥平面PDB.(2)设AC∩BD=O,连接OE,由(1)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,∴O,E分别为DB、PB的中点,∴OE∥PD,OE=PD,又∵PD⊥底面ABCD,∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,在Rt△AOE中,OE=PD=AB=AO,∴∠AOE=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.

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