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高考试题(湖北卷)——数学理科解析+(答案解析版)

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高考试题(湖北卷)——数学理科解析+(答案解析版)文字介绍:2010年高考试题——数学理（湖北卷）解析版1．【答案】D【解析】观察图形可知3zi,则3211ziiii，即对应点H（2，－1），故D正确.2．【答案】A【解析】画出椭圆221416xy和指数函数3xy图象，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则AB的子集应为1212,,,,AAAA共四种，故选A.3．【答案】D【解析】根据正弦定理sinsinabAB可得1510sin60sinB解得3sin3B，又因为ba，则BA，故B为锐角，所以26cos1sin3BB，故D正确.4．【答案】C【解析】用间接法考虑，事件A、B一个都不发生的概率为451615()()()212CPABPAPBC则所求概率71()12PAB，故C正确。5．【答案】B【解析】由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则23AMAD①，因为AD为中线2ABACADmAM，即2ADmAM②,联立①②可得3m，故B正确。6．【答案】B【解析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人，所以B正确。7．【答案】C【解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：　　　cos30,(cos30)cos30,(cos30,cos30)cos30,r,rrr即3333rrrr248，，，，则面积依次为：22223927rrrr41664，，，，所以22222n339271limSlim(rr)rlim(1)r4r344166414nnn故C正确.8．【答案】B【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有233318CA；若有1人从事司机工作，则方案有123343108CCA种，所以共有18+108=126种，故B正确9．【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得122122bb或，因为是下半圆故可得122b（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故1223,b所以C正确.10.【答案】A【解析】若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则max,,1min,,abcabcbcabca则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则32max,,,min,,23abcabcbcabca，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以A正确.11.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为20204412020(3)(3)(020)rrrrrrrrTCxyCxyr要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.12.【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z，当直线经过A（2，－1）时，z取到最大值，max5Z.13.【答案】4【解析】设球半径为r，则由3VVV球水柱可得33224863rrrr,解得r=4.14.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39,780.190.3108.9xyxy联合解得0.4y.15.【答案】CDDE【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得2CDACCB，故CDab，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=,,222abababaCDabOD代入ODCEOCCD可得abCEabab故222()2()abOEOCCEab，所以ED=OD-OE=2abab，故DE的长度为a,b的调和平均数.16.本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识，同事考察基本运算能力。（满分12分）解：（Ⅰ）1313()cos()cos()(cossin)(cossin)332222fxxxxxxx　　　　　　　22131cos233cos211cossincos2448824xxxxx　　　　　　()fx的最小正周期为22（Ⅱ）112()()()cos2sin2cos(2)2224hxfxgxxxx　　　当22()4xxkkZ时，　2()2hx取得最大值.()hx取得最大值时，对应的x的集合为,8xxkkZ。17．本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cmx，由题设，每年能源消耗费用为()35kCxx.再由(0)8C，得40k，因此40()35Cxx.而建造费用为1()6Cxx最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535fxCxCxxxxxx（Ⅱ）22400\'()6(35)fxx，令\'()0fx，即224006(35)x.解得5x，253x（舍去）.当05x时，\'()0fx，当510x时，\'()0fx，故5x是()fx的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f。当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元。18．本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和两面角等基础知识，同事考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(满分12分)解法一：（Ⅰ）在平面OAB内作ONOA交AB于N，　连接NC。　　　又OAOC，　OAONC平面　　　NCONC平面，　　　OANC。　　　取Q为AN的中点，则PQNC。PQOA在等腰　AOB中，120AOB，30OABOBA在RtAON中，30OAN，12ONANAQ在ONB中，1209030NOBNBO，.NBONAQ3ABAQ（Ⅱ）连接PNPO，由OCOA，OCOB知：OCOAB平面.又ONOAB，OCON又由ONOA，ONAOC平面。OP是NP在平面AOC内的射影。在等腰RtCOA中，P为AC的中点，ACOP根据三垂线定理，知：ACNPOPN为二面角OACB的平面角在等腰RtCOA中，1OCOA，22OP在RtAON中，3tan303ONOA，RtPON在中，22306PNOPON。2152cos5306POOPNPN解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图所示）则13(1,0,0),(0,0,1),(,,0)22ACBP为AC中点，11(,0,)22P设((0,1)),AQAB33(,,0)22AB。3333(1,0,0)(,,0)(1,,0),2222OQOAAQ1331(,,).2222PQOQOP,PQOA,0PQOA即13022，13。所以存在点13(,,0)26Q使得PQOA且3ABAQ。（Ⅱ）记平面ABC的法向量为123(,,)nnnn,则由nCA，nAB，且(1,0,1)CA，得1323033022nnnn，故可取3n（1,,1）又平面OAC的法向量为(0,1,0)e。(1,3,1)(0,1,0)3cos,515ne.两面角OACB的平面角是锐角，记为，则15cos519.本小题主要考察直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识，同事考察推理运算的能力。（满分12分）解：（Ⅰ）设(,)Pxy是曲线C上任意一点，那么点(,)Pxy满足：22(1)1(0)xyxx。化简得24(0)yxx（Ⅱ）设过点(,0)(0)Mmm的直线l与曲线C的交点为1122(,),(,)AxyBxy。设l的方程为xtym，由24xtymyx得2440ytym，216()0tm.于是121244yytyym①又1122(1,),(1,)FAxyFBxy12121212120(1)(1)()10FAFBxxyyxxxxyy②又24yx，于是不等式②等价于2222121212()104444yyyyyy2212121212()1()210164yyyyyyyy③由①式，不等式③等价于22614mmt对任意实数t，24t的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于2610mm，即322322m。由此可知，存在正数m，对于过点(,0)Mm，且与曲线C有两个交点,AB的任一直线，都有0FAFB，且m的取值范围是(322,322)20．本小题主要考察等差数列、等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力。（满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，22121(1)3nnaa　　　　令　21nnca，则　223nncc　　　　又212314ca，则数列nc是首项为134c，公比为23的等比数列，即　　　　13243nnc，故121232321()14343nnnnaa，又1102a，10nnaa故1132(1)1()43nnna　　　（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：当12a时，有()ln(1)fxxx。令12a，有11()()ln(1)2fxxxxx当1x时，11()ln2xxx。令1kxk，有111111ln(1)(1)2121kkkkkkkk即111ln(1)ln()21kkkk，1,2,3....kn将上述n个不等式一次相加得11111ln(1)(.....)2232(1)nnn整理得1111....ln(1)232(1)nnnn解法二：用数学归纳法证明（１）当1n时，左边1，右边1ln214，不等式成立（２）假设nk时，　不等式成立，　就是　　　　1111.....)ln(1)232(1)kkkk　　　　那么111111.....ln(1)2312(1)1kkkkkk　　　　　　　　　　　　　　　　　2ln(1)2(1)kkk　　　由（Ⅱ）知：当12a时，有()ln(1)fxxx令12a，有11()()ln(1)2fxxxxx令21kxk，得：1212()lnln(2)ln(1)2121kkkkkkkk21ln(1)ln(2)2(1)2(2)kkkkkk11111.....ln(2)2312(1)kkkkk就是说，当1nk时，不等式也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任何nN都成立。1122132321211434343nnnnnnbaa（Ⅱ）用反证法证明假设数列nb存在三项,,rstbbb()rst按某种顺序成等差数列，由于数列nb是首项为14，公比为23的等比数列，于是有rstbbb，则只有可能有2rstbbb成立3211212122434343srt由于rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾。故数列nb中任意三项不可能成等差数列。21．本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。（满分14分）解：（Ⅰ）2\'()bfxax，则有()0\'()1flabcflab，解得　12bacla　　　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()12afxaxax，令1()()ln12lnagxfxxaxaxx，1,x则()0gl，22221(1)()11(1)\'()aaxxaaxxaagxaxxxx（i）当12oa，11aa若11axa，则\'()0gx，()gx是减函数，所以()()gxglo()lnfxx，故()lnfxx在1,上恒不成立。（ii）12a时，1ala若()lnfxx，故当1x时，()lnfxx综上所述，所求a的取值范围为1,2

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