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高考试题(四川卷)——数学理科+答案解析版

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高考试题(四川卷)——数学理科+答案解析版文字介绍:2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）解析：四川省成都市新都一中肖宏本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.[来第Ⅰ卷注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．3。本试卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24sR如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么243vR在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径n()(1)(0,1,2,...)kknknPkCppkn一、选择题：（1）i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（A）－1（B）1（C）i（D）i解析：由复数性质知：i2＝－1故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1答案：A（2）下列四个图像所表示的函数，在点0x处连续的是（A）（B）（C）（D）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.答案：D（3）2log510＋log50.25＝（A）0（B）1（C）2（D）4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2答案：C（4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）2m（B）2m（C）1m（D）1m解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－2m于是－2m＝1m＝－2答案：A（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216,BCABACABAC则AM（A）8（B）4（C）2（D）1解析：由2BC＝16，得|BC|＝4ABACABACBC＝4而ABACAM故AM2答案：Cw_w_w.k*s5*u.co*m（6）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A）sin(2)10yx（B）sin(2)5yx（C）1sin()210yx（D）1sin()220yx解析：将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－10)再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210yx.答案：C（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱则70106480,xyxyxyNw_ww.k#s5_u.co*m目标函数z＝280x＋300y结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案：B（8）已知数列na的首项10a，其前n项的和为nS，且112nnSSa，则limnnnaS（A）0（B）12（C）1（D）2解析：由112nnSSa,且2112nnSSa作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1a2＝2a1故{an}是公比为2的等比数列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1则11121limlim(21)2nnnnnnaaSa答案：By0x70488070(15,55)BCDANMO（9）椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是m（A）20,2（B）10,2（C）21,1（D）1,12解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22abccc|PF|∈[a－c,a＋c]于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴222222accacacacc1112caccaa或又e∈(0,1)故e∈1,12答案：D（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C）108（D）144解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232AA＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222AA＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，BCD是平面内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是（A）17arccos25R（B）18arccos25R（C）13R（D）415R解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝12cos∠BAC＝255连结OM，则△OAM为等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝455R，同理AN＝455R，且MN∥CD而AC＝5R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACMN＝45R，连结OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝22217225OMONMNOMON所以M、N两点间的球面距离是17arccos25R答案：A（12）设0abc，则221121025()aaccabaab的最小值是（A）2（B）4（C）25（D）5解析：221121025()aaccabaab＝2211(5)()acaabababaab＝211(5)()()acabaababaab≥0＋2＋2＝4当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立如取a＝2,b＝22,c＝25满足条件.答案：BAB第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）631(2)x的展开式中的第四项是.解析：T4＝3336311602()Cxx答案：－160x（14）直线250xy与圆228xy相交于A、B两点，则AB.解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为22圆心到直线250xy的距离为d＝22|005|51(2)故2|AB|得|AB|＝2答案：2（15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，AB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是.解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角l的平面角，为60°又由已知，∠ABD＝30°连结CB，则∠ABC为AB与平面所成的角m设AD＝2，则AC＝3，CD＝1AB＝0sin30AD＝4∴sin∠ABC＝34ACAB答案：34ABCD（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS，都有xy,xy,xyS，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|（a,b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；m②若S为封闭集，则一定有0S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集.其中真命题是（写出所有真命题的序号）解析：直接验证可知①正确.当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误取S＝{0}，T＝{0,1}，满足STC,但由于0－1＝－1T，故T不是封闭集，④错误答案：①②三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=16P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15252()66216答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216……………………………………6分（2）ξ的可能值为0,1,2,3P(ξ=k)=3315()()66kkkC(k=0,1,2,3)所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123P12521625725721216Eξ=0×125216+1×2572+2×572+3×1216=12………………………………………………12分（18）（本小题满分12分）已知正方体ABCD－A\'B\'C\'D\'的棱长为1，点M是棱AA\'的中点，点O是对角线BD\'的中点.（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA\'和BD\'的公垂线；（Ⅱ）求二面角M－BC\'－B\'的大小；（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.DABCDMOABC本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点所以AM1//\'//2DDOK所以MO//AK由AA’⊥AK，得MO⊥AA’因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’所以AK⊥BD’所以MO⊥BD’又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA\'和BD\'的公垂线（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’过点N作NH⊥BC’于H，连结MH则由三垂线定理得BC’⊥MH从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角MN=1,NH=Bnsin45°=122224在Rt△MNH中，tan∠MHN=12224MNNH故二面角M-BC’-B’的大小为arctan22(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内点O到平面MA’D’距离h＝12VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=13S△MA’D’h=124解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点所以M(1,0,12),O(12,12,12)11(,,0)22OM,\'AA=(0,0,1),\'BD=(-1,-1,1)\'OMAA=0,11\'22OMBD+0=0所以OM⊥AA’,OM⊥BD’又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA\'和BD\'的公垂线.………………………………4分(2)设平面BMC\'的一个法向量为1n=(x,y,z)BM=(0,-1,12),\'BC＝(－1,0,1)110\'0nBMnBC即1020yzxz取z＝2,则x＝2,y＝1，从而1n=(2,1,2)取平面BC\'B\'的一个法向量为2n＝(0,1,0)cos12121211,3||||91nnnnnn由图可知，二面角M-BC\'-B\'的平面角为锐角故二面角M-BC\'-B\'的大小为arccos13………………………………………………9分(3)易知，S△OBC＝14S△BCD\'A\'＝121244设平面OBC的一个法向量为3n＝(x1,y1,z1)\'BD＝(－1,－1,1),BC＝(－1,0,0)31\'00nBDnBC即111100xyzx取z1＝1,得y1＝1，从而3n＝(0,1,1)点M到平面OBC的距离d＝31||224||2BMnVM－OBC＝11221334424OBCSd…………………………………………12分（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin；由C推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossin.（Ⅱ）已知△ABC的面积1,32SABAC，且35cosB，求cosC.本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分②由①易得cos(2－α)＝sinα,sin(2－α)＝cosαsin(α＋β)＝cos[2－(α＋β)]＝cos[(2－α)＋(－β)]＝cos(2－α)cos(－β)－sin(2－α)sin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c则S＝12bcsinA＝12ABAC＝bccosA＝3＞0∴A∈(0,2),cosA＝3sinA又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝1010,cosA＝31010由题意，cosB＝35,得sinB＝45∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1010…………………………12分（20）（本小题满分12分）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.解：(1)设P(x,y)，则221(2)2||2xyx化简得x2－23y=1(y≠0)………………………………………………………………4分(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)与双曲线x2－23y=1联立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0由题意知3－k2≠0且△＞0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则2122212243433kxxkkxxky1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2(222243833kkkk＋4)＝2293kkw_ww.k#s5_u.co*m因为x1、x2≠－1所以直线AB的方程为y＝111yx(x＋1)因此M点的坐标为(1131,22(1)yx)1133(,)22(1)yFMx,同理可得2233(,)22(1)yFNx因此2121293()22(1)(1)yyFMFNxx＝222222814343494(1)33kkkkkk＝0②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为(13,22)，33(,)22FM同理可得33(,)22FN因此2333()()222FMFN＝0w_ww.k#s5_u.co*m综上FMFN＝0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分（21）（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8w_ww.k#s5_u.co*m即bn＋1－bn＝8所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得an＝2112naa-(n－1)2.那么an＋1－an＝21212nnaa－2n＋1＝822n－2n＋1＝2n于是cn＝2nqn－1.当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.两边同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.上述两式相减得(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqnw_ww.k#s5_u.co*m＝2·11nqq－2nqn＝2·11(1)1nnnqnqq所以Sn＝2·12(1)1(1)nnnqnqq综上所述，Sn＝12(1)(1)(1)12(1)(1)nnnnqnqnqqq…………………………12分（22）（本小题满分14分）设11xxaf(x)a（0a且1a），g(x)是f(x)的反函数.（Ⅰ）设关于x的方程求217atlogg(x)(x)(x)在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：22221nknng(k)n(n)；（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较1nkf(k)n与4的大小，并说明理由.本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，得ax＝11yy＞0故g(x)＝1log1axx，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)由21loglog(1)(7)1aatxxxx得w_ww.k#s5_u.co*mt＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]则t\'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)列表如下：x2(2,5)5(5,6)6t\'+0-t5↗极大值32↘25所以t最小值＝5，t最大值＝32所以t的取值范围为[5,32]……………………………………………………5分(2)21231()lnlnlnln3451nkngknw_ww.k#s5_u.co*m＝ln(12313451nn)＝－ln(1)2nn令u(z)＝－lnz2－21zz＝－2lnz＋z－1z，z＞0则u\'(z)＝－2211zz＝(1－1z)2≥0所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数又因为(1)2nn＞1＞0，所以u((1)2nn)＞u(1)＝0即ln(1)122(1)(1)2nnnnnn＞0w_ww.k#s5_u.co*m即222()2(1)nknngknn………………………………………………………………9分(3)设a＝11p，则p≥1，1＜f(1)＝1211aap≤3当n＝1时，|f(1)－1|＝2p≤2＜4当n≥2时设k≥2,k∈N*时，则f(k)＝(1)121(1)1(1)1kkkpppw_ww.k#s5_u.co*m＝1＋1222kkkkkCpCpCp所以1＜f(k)≤1＋12244411(1)1kkCCkkkk从而n－1＜2()nkfk≤n-1+4421n＝n+1-41n＜n＋1所以n＜1()nkfk＜f(1)＋n＋1≤n＋4综上所述，总有|1()nkfk－n|＜4w_ww.k#s5_u.co*m

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