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最新6年高考4年模拟试题试卷--第十五章系列(答案解析)

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最新6年高考4年模拟试题试卷--第十五章系列(答案解析)文字介绍:第十五章系列第一部分六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010湖南文）4.极坐标cosp和参数方程12xtyt（t为参数）所表示的图形分别是A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线【答案】D2.（2010重庆理）（3）2241lim42xxx=A.—1B.—14C.14D.1【答案】B解析：2241lim42xxx=4121)2)(4(2(limlim222xxxxxx3.（2010北京理）（5）极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线【答案】C4.（2010湖南理）5、421dxx等于A、2ln2B、2ln2C、ln2D、ln25.（2010湖南理）3、极坐标方程cos和参数方程123xtyt（t为参数）所表示的图形分别是A、圆、直线B、直线、圆C、圆、圆D、直线、直线6.（2010安徽理）7、设曲线C的参数方程为23cos13sinxy（为参数），直线l的方程为320xy，则曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】化曲线C的参数方程为普通方程：22(2)(1)9xy，圆心(2,1)到直线320xy的距离|23(1)2|71031010d，直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，又71071031010，在直线l的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.【方法总结】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C上到直线l距离为71010，然后再判断知71071031010，进而得出结论.二、填空题1.（2010上海文）3.行列式cossin66sincos66的值是。【答案】0.5解析：考查行列式运算法则cossin66sincos66=213cos6πsin6πsin6πcos6πcos2.（2010陕西文）15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）不等式21x<3的解集为.。【答案】12xx解析：213123312xxxB.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.【答案】165解析：ABCD,由直角三角形射影定理可得516BD5,BA4,BC,2所以又BABDBCC.（坐标系与参数方程选做题）参数方程cos,1sinxy（为参数）化成普通方程为【答案】x2＋（y－1）2＝1.解析：1sincos)1(2222yx3.（2010北京理）（12）如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝；CE＝。【答案】5274.（2010天津文）（11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则BCAD的值为。【答案】13【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。因为A,B,C,D四点共圆，所以,DABPCBCDAPBC,因为P为公共角，所以⊿PBC∽⊿PAB,所以=BCPBADPD=13【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。5.（2010天津理）（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PB1PC1=,=PA2PD3,则BCAD的值为。【答案】66【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。因为A,B,C,D四点共圆，所以,DABPCBCDAPBC,因为P为公共角，所以⊿PBC∽⊿PAB,所以PBPCBCPDPAAD.设OB=x，PC=y，则有6322xyyxyx，所以636BCxADy【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。6.（2010天津理）（13）已知圆C的圆心是直线1,(1xtyt为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为【答案】22(1)2xy本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。令y=0得t=-1，所以直线1xtyt与x轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|103|22r，所以圆C的方程为22(1)2xy【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。7.（2010广东理）15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin 与cos1p 的交点的极坐标为______．【答案】3(2,)4．由极坐标方程与普通方程的互化式cos,sinxy知，这两条曲线的普通方程分别为222,1xyyx．解得1,1.xy由cos,sinxy得点（-1，1）的极坐标为3(2,)4．8.（2010广东理）14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=23a，∠OAP=30°，则CP＝______.【答案】98a因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OPAB.在RtOPA中，3cos302BPAPaa.由相交线定理知，BPAPCPDP，即332223aaCPa，所以98CPa．9.（2010广东文）15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系),()20(中，曲线1)sin(cos与1)sin(cos的交点的极坐标为.10.（2010广东文）14.（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CBAB,AB=AD=a,CD=2a,点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF=【答案】2a解：连结DE，可知AED为直角三角形。则EF是DEARt斜边上的中线，等于斜边的一半为2a.三、解答题1.（2010辽宁理）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（I）证明：ABEADC（II）若ABC的面积AEADS21，求BAC的大小。证明：（Ⅰ）由已知条件，可得BAECAD因为AEBACB与是同弧上的圆周角，所以AEBACD=故△ABE∽△ADC.……5分（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以ABADAEAC，即AB·AC=AD·AE.又S=12AB·ACsinBAC，且S=12AD·AE，故AB·ACsinBAC=AD·AE.则sinBAC=1，又BAC为三角形内角，所以BAC=90°.……10分2.（2010辽宁理）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知P为半圆C：（为参数，0）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为3。（I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（II）求直线AM的参数方程。解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为3，且M点的极径等于3，故点M的极坐标为（3，3）.……5分（Ⅱ）M点的直角坐标为（3,66），A（0,1），故直线AM的参数方程为1(1)636xtyt（t为参数）……10分3.（2010辽宁理）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知cba,,均为正数，证明：36)111(2222cbacba，并确定cba,,为何值时等号成立。证明：（证法一）因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得22223133()1113()abcabcabcabc①所以2231119()abcabc②……6分故22222233111()3()9()abcabcabcabc.又22333()9()22763abcabc③所以原不等式成立.……8分当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当22333()9()abcabc时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=143时，原式等号成立。……10分（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得222222222ababbcbccaac所以222abcabbcac①同理222111111abcabbcac②……6分故2222111()abcabc11133363abbcacabbcac③所以原不等式成立.……8分当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，222()()()3abbcac时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=143时，原式等号成立。……10分4.（2010福建理）21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=11ab，20cNd，且2020MN，（Ⅰ）求实数,,,abcd的值；（Ⅱ）求直线3yx在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为23,2252xtyt（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为25sin。（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|。（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数()||fxxa。（Ⅰ）若不等式()3fx的解集为|15xx，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)fxfxm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。（1）选修4-2：矩阵与变换【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。【解析】（Ⅰ）由题设得02200220cadbcbd，解得1122abcd；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线3yx上的两（0，0），（1，3），由00111100，13111122得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而直线3yx在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为yx。（2）选修4-4：坐标系与参数方程【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。【解析】（Ⅰ）由25sin得22250,xyy即22(5)5.xy（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2222(3)()522tt，即23240,tt由于2(32)4420，故可设12,tt是上述方程的两实根，所以121232,(3,5),4ttlPtt又直线过点故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t|+|t|=12t+t=32。（3）选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力【解析】（Ⅰ）由()3fx得||3xa，解得33axa，又已知不等式()3fx的解集为|15xx，所以3135aa，解得2a。（Ⅱ）当2a时，()|2|fxx，设()=()(5)gxfxfx，于是()=|x-2||3|gxx=21,<35,3221,>2xxxxx，所以当x<-3时，g(x)>5；当-3x2时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。5.（2010江苏卷）21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。[解析]本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）证明：连结OD、BD。BOCAD因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB。因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=900。又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=100k,N=0110，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。[解析]本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分解：由题设得0010011010kkMN由00220010001022kk，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）。计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是||k，则由题设知：||212k。所以k的值为2或-2。C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。[解析]本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。解：22cos，圆ρ=2cosθ的普通方程为：22222,(1)1xyxxy，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：340xya，又圆与直线相切，所以22|3140|1,34a解得：2a，或8a。D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：3322()ababab。[解析]本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。（方法一）证明：332222()()()abababaaabbbba55()[()()]abab2432234()[()()()()()()()()]abaabababb因为实数a、b≥0，2432234()0,[()()()()()()()()]0abaabababb所以上式≥0。即有3322()ababab。（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得332222()()()abababaaabbbba55()[()()]abab当ab时，ab，从而55()()ab，得55()[()()]0abab；当ab时，ab，从而55()()ab，得55()[()()]0abab；所以3322()ababab。2009年高考题一、填空题1、（09广东理14）（坐标系与参数方程选做题）若直线1223xtyt（t为参数）与直线41xky垂直，则常数k=.【解析】将1223xtyt化为普通方程为3722yx,斜率132k,当0k时,直线41xky的斜率24kk,由123412kkk得6k;当0k时,直线3722yx与直线41x不垂直.综上可知,6k.答案62、(09广东理15)(几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，30ACBo，则圆O的面积等于.图3【解析】连结AO,OB,因为30ACBo,所以60AOBo,AOB为等边三角形,故圆O的半径4rOAAB,圆O的面积216Sr.答案163、(天津理13)设直线1l的参数方程为113xtyt（t为参数），直线2l的方程为y=3x+4则1l与2l的距离为_______【解析】由题直线1l的普通方程为023yx，故它与与2l的距离为510310|24|。答案　　51034、（09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为()4R，它与曲线12cos22sinxy（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.【解析】直线的普通方程为yx，曲线的普通方程22(1)(2)4xy∴22|12|||22()1411AB答案二、解答题5、（09海南22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，060B，F在AC上，且AEAF。（Ⅰ）证明：B,D,H,E四点共圆：（Ⅱ）证明：CE平分DEF。解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆.（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°.又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°.所以CE平分∠DEF.6、（09海南23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。已知曲线C1：4cos,3sin,xtyt（t为参数），C2：8cos,3sin,xy（为参数）。开始1a21aa100?a输出结束是否（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为2t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线332,:2xtCyt（t为参数）距离的最小值。解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1.649xyCxyC1C为圆心是（4,3)，半径是1的圆.2C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（Ⅱ）当2t时，3(4,4).(8cos,3sin),(24cos,2sin).2PQM故3C为直线35270,|4cos3sin13|.5xyMCd到的距离从而当43cos,sin55时，85.5d取得最小值7、（09海南24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.（1）将y表示成x的函数；（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？解（Ⅰ）4|10|6|20|,030.yxxx（Ⅱ）依题意，x满足{4|10|6|20|70,030.xxx解不等式组，其解集为【9，23】所以[9,23].x8、（09江苏）A.选修4-1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.【解析】本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。B.选修4-2：矩阵与变换求矩阵3221A的逆矩阵.【解析】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。解：设矩阵A的逆矩阵为,xyzw则3210,2101xyzw即323210,2201xzywxzyw故321,320,20,21,xzywxzyw解得：1,2,2,3xzyw，从而A的逆矩阵为11223A.C.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为1,13()xttytt（t为参数，0t）.求曲线C的普通方程。【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。解因为212,xtt所以212,3yxtt故曲线C的普通方程为：2360xy.D.选修4-5：不等式选讲设a≥b＞0,求证：3332ab≥2232abab.证明：3322222232(32)3()2()(32)().abababaabbbaabab因为a≥b＞0,所以ab≥0，2232ab＞0，从而22(32)()abab≥0，即3332ab≥2232abab.9、（09辽宁理22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲已知ABC中，AB=AC,D是ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。(1)求证：AD的延长线平分CDE；(2)若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+3，求ABC外接圆的面积。解（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC又AB=AC∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF,即AD的延长线平分∠CDE.（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150,∠ACB=750,∴∠OCH=600.设圆半径为r,则r+23r=2+3,a得r=2,外接圆的面积为4。10、（09辽宁理23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（3）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。解（Ⅰ）由得1)3cos(1)sin23cos21(从而C的直角坐标方程为)2,332(3322)0,2(202312321NMyxyx，所以时，，所以时，即（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为)332,0(所以P点的直角坐标为),6,332(),33.1(点的极坐标为则P所以直线OP的极坐标方程为),(,11、（09辽宁理24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()|1|||fxxxa。（1）若1,a解不等式()3fx；（2）如果xR,()2fx,求a的取值范围。解（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.由f(x)≥3得︱x－1︳+︱x+1|≥3（ⅰ）x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3即－2x≥32005—2008年高考题一、填空题1．（2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12CC，的极坐标方程分别为cos3，π4cos002，≥≤，则曲线1C与2C交点的极坐标为．答案(23,)62．（2008广东理）（不等式选讲选做题）已知aR，若关于x的方程2104xxaa有实根，则a的取值范围是．答案410a3．（2008广东理）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，2PA．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，1PB，则圆O的半径R．答案3二、解答题4.（2008宁夏理）（10分）选修4－1：几何证明选讲如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.（1）证明：OM·OP=OA2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM=90°.（1）证明因为MA是圆O的切线，所以OAAM．又因为APOM．在RtOAM△中，由射影定理知，.2OPOMOA（2）证明因为BK是圆O的切线，BNOK．同（1），有OKONOB2，又OBOA，所以OKONOMOP，即ONOMOPOK．又NOPMOK∠∠，所以ONPOMK△∽△，故90OKMOPN∠∠．5.（2008宁夏理）（10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲已知曲线C1：cos()sinxy为参数，曲线C2：222()22xttyt为参数.（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1\'C，2\'C.写出1\'C，2\'C的参数方程.1\'C与2\'C公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解（1）1C是圆，2C是直线．1C的普通方程为221xy，圆心1(00)C，，半径1r．2C的普通方程为20xy．因为圆心1C到直线20xy的距离为1，所以2C与1C只有一个公共点．（2）压缩后的参数方程分别为1C：cos1sin2xy，（为参数）；2C：22224xtyt，（t为参数）．化为普通方程为：1C：2241xy，2C：1222yx，联立消元得222210xx，其判别式2(22)4210，所以压缩后的直线2C与椭圆1C仍然只有一个公共点，和1C与2C公共点个数相同．6.（2008宁夏理）（10分）选修4－5：不等式选讲已知函数|4||8|)(xxxf.（1）作出函数)(xfy的图象；（2）解不等式2|4||8|xx.解（1）44()2124848.xfxxxx，≤，，≤，图象如下：（2）不等式842xx，即()2fx，由2122x得5x．由函数()fx图象可知，原不等式的解集为(5)∞，．7.（2008江苏）A.选修4-1：几何证明选讲如图所示，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2=EC·EB.B.选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=1002对应的变换下得到曲线F，求F的方程.C：选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是椭圆1322yx上的一个动点，求S=x+y的最大值.D：选修4-5：不等式选讲设a,b,c为正实数，求证：.32111333abccbaA.证明:如图所示，因为AE是圆的切线，又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD.从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.11Oxy23424-1-2-28-4因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED.因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=EC·EB，而EA=ED，所以ED2=EC·EB.B.解：设P（x0,y0）是椭圆上任意一点，点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0,y′0),则有.′,2′,′,2′,1002′′000000000000yyxxyyxxyxyx所以即又因为点P在椭圆上，故.1)′()′(,1420202020yxyx从而所以曲线F的方程为.122yxC.解：由椭圆),(sin,cos31322为参数的参数方程为yxyx故可设动点P的坐标为（sin,sin3）,其中.20因此,.3sin2sin21cos232sincos3yxS所以当.2,6取得最大值时SD.证明：因为a,b,c是正实数，由平均不等式可得.3111,11131113333333333abccbacbacba即,32323.3111333abcabcabcabcabcabcabccba而所以所以.32111333abccbaACPDOEFBACPDOEFB第二部分四年联考汇编2010年联考题题组二（5月份更新）1．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE＝AC,DE交AB于点F,且42BPAB,（1）求PF的长度.（2）若圆F且与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度解：（1）连结,,OCODOE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得CDEAOC,又CDEPPFD,AOCPOCP,从而PFDOCP,故PFD∽PCO,∴PFPDPCPO,…………4由割线定理知12PCPDPAPB,故1234PCPDPFPO.………6（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为21OFr即1r所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT则2PT248PBPO，即PT22…………102.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：cossin和直线2:sin()42l，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当0,时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解：（1）圆O：cossin，即2cossin圆O的直角坐标方程为：22xyxy，即220xyxy…………3直线2:sin()42l，即sincos1则直线l的直角坐标方程为：1yx，即10xy…………6（2）由22010xyxyxy得01xy8故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1,)2…………103.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲对于任意实数a(0)a和b，不等式(12)ababaxx恒成立，试求实数x的取值范围．解：由题知，|||||1||2|||ababxxa恒成立，故12xx不大于||||||ababa的最小值…………2∵||||||2||ababababa，当且仅当0abab时取等号∴||||||ababa的最小值等于2.…………5∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解…………7解不等式得1522x…………104.（三明市三校联考）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。（Ⅰ）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换求矩阵3221A的逆矩阵.（Ⅱ）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是4cos．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：21222xtyt，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．（Ⅲ）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1解:（I）设矩阵A的逆矩阵为,xyzw则3210,2101xyzw即323210,2201xzywxzyw故321,320,20,21,xzywxzyw解得：1,2,2,3xzyw，从而A的逆矩阵为11223A.（Ⅱ）曲线C的极坐标方程是4cos化为直角坐标方程为x2＋y2－4x=0，即（x－2）2＋y2=4直线l的参数方程21222xtyt，化为普通方程为x－y－1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为1222所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长1242=14．（Ⅲ）当x<0时,原不等式可化为211,0xxx解得又0,xx不存在;当102x时,原不等式可化为211,0xxx解得;又110,0;22xx当11,222xx综上,原不等式的解集为{|02}.xx题组一（3月份更新）1.（2009番禺一模）在直角坐标系中圆C的参数方程为2cos22sinxy（为参数），若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为________．答案4sin2.（2009上海十四校联考）矩阵的一种运算,dycxbyaxyxdcba该运算的几何意义为平面上的点),(yx在矩阵dcba的作用下变换成点124),,(22yxyxdycxbyax若曲线在矩阵.11ba的作用下变换成曲线bayx则,1222的值为答案23.（2009番禺一模）如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的大小为．答案994.（2009上海卢湾区4月模考）不等式120010321xxx≥的解为．答案2323x≤≤5.（2009番禺一模）若不等式121xax对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是_________________．答案(1,3)6.（2009上海八校联考）满足方程2lglg1121xx的实数解x为________________。答案x＝27.（2009上海奉贤区模拟考）不等式1223x的解集为。答案4x8.（2009上海普陀区）关于x、y的二元线性方程组25,32xmynxy的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为110301，则xy.答案49.（2009上海普陀区）将函数3sin()1cosxfxx=的图像向左平移a（0a>）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a的最小值为.答案56p10.（2009上海十校联考）若复数z满足132i2izz（i是虚数单位），则z__________．答案47i5511.（2009上海闸北区）增广矩阵为851231　　　　的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为．答案)1,3(二、解答题12.（2009厦门集美中学）（不等式选讲）设cba,,均为正数，证明：cbaaccbba222.证明cbaaacccbbbacbaaccbba222)()()(222222即得cbaaccbba222.另证利用柯西不等式.232221232221332211bbbaaabababa取abcbbbacacbabaa321321,,,,,代入即证.13.（2009上海十四校联考）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知,2,32ca.,010cos200sinsinSABCAcbBC的面积求解：由行列式得：0cossin2sinABcCb…………3分由正、余弦定理得：022222bcacbcbbc…………6分3,222Abcacb………………9分又4,2,32bca………………12分32sin21AbcS……………………14分14.（2009盐城中学第七次月考）不等式选讲已知x，y，z均为正数．求证：111.xyzyzzxxyxyz≥证明因为x，y，z无为正数．所以12()xyxyyzzxzyxz≥，……………………4分同理可得22yzzxzxxyxxyyzy≥，≥，………………………………………7分当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111xyzyzzxxyxyz≥．………10分15.（2009南京一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,CDEF||,FG切⊙O于点G.求证：FGEF.证明：因为FG切⊙O于点G，所以FAFBFG2因为CDEF||，所以ECDBEF又A、B、C、D四点共圆，所以,EAFECD所以EAFBEF又BFEEFA，所以EFA∽BFE所以FEFBAFEF即FAFBEF2所以22EFFG即：FGEF16.（2009厦门同安一中）（极坐标与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为=l与=2cos（θ+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．解由1得221xy，又22cos()cos3sin,cos3sin32230xyxy，由2222130xyxyxy得13(1,0),(,)22AB,221310322AB．……7分17.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）（极坐标与参数方程）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为(4，)．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径.(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(Ⅱ)试判定直线l和圆C的位置关系.解（Ⅰ）直线l的参数方程为112352xtyt，圆C的极坐标方程为8sin（Ⅱ）因为4,2M对应的直角坐标为0,4直线l化为普通方程为3530xy圆心到直线l的距离0453935231d，所以直线l与圆C相离.2009年联考题一、选择题1、（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）极坐标方程=cosθ化为直角坐标方程为()A.（x+21）2+y2=41B.x2+（y+21）2=41C.x2+（y-21）2=41D.（x-21）2+y2=41答案D.2、（2009上海普陀区）以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy的一个法向量的是（）A.1,2n；B.2,1n；C.1,2n;D.2,1n.答案A3、（2009上海青浦区）线性方程组78615304zyxzyxzyx的增广矩阵是（）A．786115130411B．786115130411C．861513411D．854611131答案A二、填空题4、（2009广州一模）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为．答案435、（2009广州一模）(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC=3，∠PAB=300，则线段PB的长为.答案16、（2009广州一模）(不等式选讲选做题)已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，则a的取值范围为_____________答案2[2]11，7、（2009广东三校一模）(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为cos2和sin的两个圆的圆心距为____________；答案258、（2009广东三校一模）(不等式选讲选做题)若不等式121axx对一切非零实数x均成立,则实数a的最大值是__________________；答案39、（2009广东三校一模）(几何证明选讲选做题)如图,PT切圆O于点T,PA交圆O于A、B两点，且与直径CT交于点D，6,3,2BDADCD，则PB______.答案15.10、（2009东莞一模）（几何证明选讲选做题）如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C做AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分CAB，且2AE，则AB，AC，BC.答案3,23,3；11、（2009东莞一模）(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点1,0到直线cossin2的距离为．TPBOCADOABCDEODCBA图4答案2212、（2009东莞一模）（不等式选讲选做题）函数()3fxxx的最大值为.答案313、（2009江门一模）（坐标系与参数方程选做题）P是曲线sincos1sin2xy（)2,0[是参数）上一点，P到点)2,0(Q距离的最小值是．答案2714、（2009江门一模）（不等式选讲选做题）已知关于x的不等式|||1|2009xaxa（a是常数）的解是非空集合，则a的取值范围是．答案)1004,(15、（2009江门一模）（几何证明选讲选选做题）如图4，三角形ABC中，ACAB，⊙O经过点A，与BC相切于B，与AC相交于D，若1CDAD，则⊙O的半径r．答案714216、（2009茂名一模）（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程cos()16化为直角坐标方程是．答案320xy17、（2009茂名一模）（不等式选讲选做题）函数51102yxx的最大值为_________。EABDC答案3618、（2009茂名一模）（几何证明选讲选做题）如图，梯形ABCD，//ABCD，E是对角线AC和BD的交点，:1:3DECDBCSS，则:DECABDSS．答案1：619、（2009汕头一模）（坐标系与参数方程选做题）两直线的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿(判断垂直或平行或斜交)答案垂直20、（2009汕头一模）（不等式选讲选做题）不等式1|||5|1xax对于一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿答案4＜a＜621、（2009汕头一模）（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP＝8,PB＝6,PD＝4,MC＝6，则MN的长为＿＿＿答案23322、（2009韶关一模）在极坐标系中，圆心在(2,)且过极点的圆的方程为_.答案22cos23、（2009韶关一模）如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为　　　　.答案9224、（2009韶关一模）如果关于x的不等式34xxa的解集是全体实数，则a的取值范围是.答案,1ABCDEOlBPCAO25、（2009深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为],0[sin,cosyx，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C在极坐标系中的方程为cossinb．若曲线1C与2C有两个不同的交点，则实数b的取值范围是．答案21b26、（2009深圳一模）（几何证明选讲选做题）如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，2CD，3AD，6BD，则PB．答案1527.（2009深圳一模）（不等式选讲选做题）若不等式zyxa221，对满足1222zyx的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是．答案24aa或28、（2009湛江一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点)0,3(A且与极轴垂直的直线交曲线cos4于A、B两点，则||AB__________．答案3229、（2009湛江一模）（不等式选讲选做题）设1zyx，则22232zyxF的最小值为________．答案11630、（2009湛江一模）（几何证明选讲选做题）如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB=120°，则∠APB=．答案60OPTACDB三、解答题31、（2009厦门北师大海沧附属实验中学）（不等式选讲）设1,xyz求22223Fxyz的最大值.解22262311Fxyz当且仅当2311123xyz且3261,,,111111xyzxyzF有最小值61132、（2009厦门一中）（不等式选讲）设1223(1)nann(nN*）,比较na、(1)2nn、2(1)2n的大小，并证明你的结论.解∵(1)1223(1)122nnnannn又∵1223(1)nann221223(1)222(1)(3)2(1)422nnnnnnnnn∴(1)2nnb>c,且a+b+c=0;(1)求证：方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根；(2)求ca的取值范围；(3)若方程ax2+bx+c=0与x轴的两交点为A、B，求线段AB在矩阵1010变换下投影长度的取值范围。解（1）由题意可得：a>0,c<0.若a0,由a>b>c可得a+b+c<0与已知条件a+b+c=0矛盾;若c0,由a>b>c可得a+b+c>0与已知条件a+b+c=0矛盾;所以a>0,c<0.240bac方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根.4分(2)由a+b+c=0得b=-(a+c)()12()2acacacca10分(3)由a+b+c=0知x=1是方程ax2+bx+c=0的根,根据根与系数关系可得另一根为ca,3,32AB,线段AB在矩阵1010变换下投影实质是投影到直线y=x上,所以投影的长度范围是:32,32.16分

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