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江苏如皋中学高三考前指导压题卷及答案

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江苏如皋中学高三考前指导压题卷及答案文字介绍:c江苏省如皋中学2010届高三考前指导最后一卷(压题卷)（参考部分名校的最后一卷）1．(填空题压轴题:考查分段函数的单调性,字母运算等)已知函数f(x)=3(21)34,,axaxtxxxt，无论t取何值，函数f(x)在区间(-∞，+∞)总是不单调．则a的取值范围是___________答案:12a2.(三角与向量:考查两角和与差的三角公式,解三角形,三角与向量数量积)设ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满(2)0acBCBAcCACB.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若23b，试求ABCB的最小值.答案:2,23B3.(立体几何:考查垂直与平行的判断)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC∥，PAD△是等边三角形，已知4AD，43BD，28ABCD．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？证明：（Ⅰ）在ABD△中，∵4AD，43BD，8AB，∴222ADBDAB．∴ADBD．又∵平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，∴BD平面PAD．又BD平面MBD，∴平面MBD平面PAD．（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．∵ABDC∥，所以四边形ABCD是梯形．∵2ABCD，∴:1:2CNNA．又∵:1:2CMMP，∴:CNNA:CMMP，∴PA∥MN．∵MN平面MBD，∴PA∥平面MBD.ABCMPD4.(解几:考查椭圆的有关几何性质,直线与圆的位置关系,曲线的轨迹,存在性问题与定值问题等)已知椭圆222210xyabab和圆O：222xyb，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为,AB．（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得90APB，求椭圆离心率e的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，2222abONOM是否为定值？请证明你的结论．解：（1）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：222xyb，∴bc，∴2222bacc，222ac，∴22e．（ⅱ）由90APB及圆的性质，可得2OPb，∴2222,OPba∴222ac∴212e，212e．（2）设0001122,,,,,PxyAxyBxy，则011011yyxxxy,整理得220011xxyyxy22211xyb∴PA方程为：211xxyyb，PB方程为：222xxyyb．从而直线AB的方程为：200xxyyb．令0x，得20bONyy，令0y，得20bOMxx，∴2222222220022442aybxabababbbONOM，∴2222abONOM为定值，定值是22ab.5.(解几备选)已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别是12(,0),(,0)FcFc，Q是椭圆外的动点，满足1||2.FQa点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足220,||0PTTFTF．（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明1||cFPaxa；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．解（Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得22222212||()()bFPxcyxcbxa2().caxa又由,xa知0caxcaa，所以1||.cFPaxa（Ⅱ）当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上．当||0PT且2||0TF时，由2||||0PTTF，得2PTTF．又2||||PQPF，所以T为线段F2Q的中点．在△QF1F2中，11||||2OTFQa，所以有222.xya综上所述，点T的轨迹C的方程是222.xya（Ⅲ）C上存在点M（00,yx）使S=2b的充要条件是2220020,12||.2xyacyb③④由③得ay||0，由④得.||20cby所以，当cba2时，存在点M，使S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点M．当cba2时，100200(,),(,)MFcxyMFcxy，由2222221200MFMFxcyacb，121212||||cosMFMFMFMFFMF，212121||||sin2SMFMFFMFb，得.2tan21MFF6.(应用题)已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元。⑴写出y（单位：元）关于（单位：克）的函数关系式；⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率；⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。（注：价值损失的百分率100%原有价值现有价值原有价值；在切割过程中的重量损耗忽略不计）解⑴依题意设2(0)yk，又当3时，54000y，∴6000k，故26000(0)y。⑵设这块矿石的重量为a克，由⑴可知，按重量比为1:3切割后的价值为22136000()6000()44aa，价值损失为222136000(6000()6000())44aaa，价值损失的百分率为2222136000[6000()6000()]44100%37.5%6000aaaa。⑶解法1：若把一块该种矿石按重量比为:mn切割成两块，价值损失的百分率应为22221[()()]()mnmnmnmnmn，又2222()212()()2mnmnmnmn，当且仅当mn时取等号，即重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为:1x，则价值损失的百分率为222121[()()]1121xxxxxx，又0x，∴212xx，故222121222xxxxxx，等号当且仅当1x时成立。答：⑴函数关系式26000(0)y；⑵价值损失的百分率为37.5%；⑶故当重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大。7.(数列压轴题)已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，a2m是首项为12，公比为12的等比数列（其中m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．（1）当m＝12时，求a2010；（2）若a52＝1128，试求m的值；（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．解（1）m＝12时，数列的周期为24．∵2010＝24×83＋18，而a18是等比数列中的项，∴a2010＝a18＝a12＋6＝611()264．（2）设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝1()2k．∵711()1282，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．∴a52最多是第三个周期中的项．若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝1128．∴m＝52－7＝45；若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝1128．∴3m＝45，m＝15；若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝1128．∴5m＝45，m＝9；综上，m＝45，或15，或9．（3）2m是此数列的周期，∴S128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和．∴S2m最大时，S128m＋3最大．∵S2m＝2211[1()](1)11112512210(2)111()12224212mmmmmmmmm，当m＝6时，S2m＝31－164＝633064；当m≤5时，S2m＜633064；当m≤7时，S2m＜211125(7)24＝29＜633064．∴当m＝6时，S2m取得最大值，则S128m＋3取得最大值为64×633064＋24＝2007．由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立．8.(数列压轴题备选)已知数列}{na的通项公式是12nna，数列}{nb是等差数列，令集合},,,,{21naaaA，},,,,{21nbbbB，*Nn．将集合BA中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{nc．（1）若ncn，*Nn，求数列}{nb的通项公式；（2）若BA，数列}{nc的前5项成等比数列，且11c，89c，求满足451nncc的正整数n的个数．答案:(1)nbn或1n或2n(2)分类讨论:数列123459{},,,,,,nccccccc若22c;32c;42c;52c.只有32c满足,数列{}nc为1,2,2,22,4,42,,2nbn.满足451nncc的n的值为1,2,3,4,6共5个.9.(函数压轴题:)已知函数||20,1xxfxaaaa，（1）若1a，且关于x的方程fxm有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；（2）记函数,2,gxfxx，若gx的最值与a无关，求a的取值范围．解：(1)令xat，0x，因为1a，所以1t，所以关于x的方程fxm有两个不同的正数解等价于关于t的方程2tmt有相异的且均大于1的两根，即关于t的方程220tmt有相异的且均大于1的两根，所以2280,1,2120mmm，解得223m，故实数m的取值范围为区间(22,3).(2)||()2,[2,)xxgxaax①当1a时，a)0x时，1xa，()3xgxa，所以()[3,)gx，b)20x时，211xaa()2xxgxaa，所以221\'()ln2lnlnxxxxagxaaaaaaⅰ当2112a即412a时，对(2,0)x，\'()0gx，所以()gx在[2,0)上递增，所以222()[,3)gxaa，综合a)b)()gx有最小值为222aa与a有关，不符合ⅱ当2112a即42a时，由\'()0gx得1log22ax，且当12log22ax时，\'()0gx，当1log202ax时，\'()0gx，所以()gx在1[2,log2]2a上递减，在1[log2,0]2a上递增，所以min1()log22agxg22，综合a)b)()gx有最小值为22与a无关，符合要求．②当01a时，a)0x时，01xa，()3xgxa，所以()(0,3]gxb)20x时，211xaa，()2xxgxaa，所以221\'()ln2lnlnxxxxagxaaaaaa0，()gx在[2,0)上递减，所以222()(3,]gxaa，综合a)b)()gx有最大值为222aa与a有关，不符合综上所述，实数a的取值范围是42a．附加题22,2310.22(空间向量)11.已知斜三棱柱111,90,ABCABCBCAACBC，，1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知11BAAC。（I）求证：1AC平面1ABC；（II）求求二面角1AABC余弦值的大小【解】（I）如图，取AB的中点E，则//DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又1AD平面ABC，以1,,DEDCDA为,,xyz轴建立空间坐标系，则0,1,0A，0,1,0C，2,1,0B，10,0,At，10,2,Ct，10,3,ACt，12,1,BAt，2,0,0CB，由10ACCB，知1ACCB，又11BAAC，从而1AC平面1ABC；（II）由1AC2130BAt，得3t。设平面1AAB的法向量为,,nxyz，10,1,3AA，2,2,0AB，所以130220nAAyznABxy，设1z，则3,3,1n所以点1C到平面1AAB的距离1||2217||ACndn。（III）再设平面1ABC的法向量为,,mxyz，10,1,3CA，2,0,0CB，所以13020mCAyzmCBx，设1z，则0,3,1m，故7cos,7||mnmnmn，根据法向量的方向，可知二面角1AABC的余弦值大小为7711.（考查:排列组合,数学归纳法,概率等）用,,,abcd四个不同字母组成一个含1n*)(Nn个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同.例如1n时，排出的字符串是,,abacad；2n时排出的字符串是,,,,,,,,abaabcabdacaacbacdadaadbadc，……，如图所示.记这含1n个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为na.（1）试用数学归纳法证明：*33(1)(,1)4Nnnnann；（2）现从,,,abcd四个字母组成的含*1(,2)Nnnn个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：2193P.解（1）：证明：（ⅰ）当1n时，因为10a，33(1)04，所以等式正确.（ⅱ）假设nk时，等式正确，即*33(1)(,1)4Nkkkakk，那么，1nk时，因为abcdn=1abcdn=2acdabdabc11133(1)4333(1)33(1)33444kkkkkkkkkkkaa，这说明1nk时等式仍正确.据（ⅰ），（ⅱ）可知，*33(1)(,1)4Nnnnann正确.（2）易知133(1)13(1)[1]4343nnnnnP，①当n为奇数（3n）时，13(1)43nP，因为327n，所以132(1)4279P，又131(1)434nP，所以2194P；②当n为偶数（2n）时，13(1)43nP，因为39n，所以131(1)493P，又131(1)434nP，所以1143P.综上所述，2193P.

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